A. — L'ARITHMÉTIQUE

Etant donné un phénomène mécanique ou physique, la forme précise de la loi qui le régit, est, en général, une équation différentielle ou aux dérivées partielles. Ces équations, qui constituent les conditions analytiques du phénomène, permettent de l'étudier avec rigueur. Mais la théorie des équations différentielles et aux dérivées partielles, qui forme avec la théorie des fonctions le domaine immense de l'analyse proprement dite, ne constitue pas, au point de vue mathématique, un corps de doctrine qui se suffise à lui-mcme. Les conditions analytiques reposent, elles-mêmes, sur des conditions algébriques, l'algèbre déterminant, si l'on peut dire, les conditions d'intelligibilité de l'analyse. Mais là ne s'arrête pas la marche de la pensée mathématique. L'analyse et l'algèbre soulèvent des problèmes d'ordre purement arithmétique, qui ne trouvent leur solution définitive que dans la théorie des nombres. Lorsqu'on veut approfondir les théories

les plus élevées de l'analyse, théories des fonctions elliptiques, des fonctions abéliennes ou des fonctions fuchsiennes, on rencontre entre ces théories et l'arithmétique des points de contact nombreux. Analyse, algèbre, arithmétique, tels sont les trois étages de la mathématique pure ; le mot étage n'est, d'ailleurs, pas absolument exact, parce que ces trois doctrines, loin de se juxtaposer, pénètrent, au contraire, les unes dans les autres. Pour être complet, il faut encore, comme nous l'avons vu, préalablement déterminer cette démarche de la pensée indispensable à l'exposition des mathématiques elles-mêmes, et qui lui est, en quelque sorte, antérieure : nous voulons parler du discours grammatical et des lois logiques qui le régissent. Nous avons appelé, selon un usage récent, logistique cette étude précise des lois grammatico-logiqiics qui constitue comme l'introduction à la mathématique. Il n'y a pas à chercher d'autres conditions d'intelligibilité d'un phénomène physique que celles que nous venons d'énumérer d'une manière générale; tout effort pour saisir des principes fondamentaux antérieurs aux conditions mathématiques et logiques est condamné à l'insuccès, pai:cc qu'il poursuit un but imaginaire.

Nous voudrions tâcher de monti'er aux philosophes l'importance d'une Science qu'ils semblent avoir presque tous ignorée, bien qu'elle soit, sans doute, l'une des plus anciennes parmi les sciences

mathématiques : nous voulons parler de l'arithmétique supérieure ou théorie des nombres. Et avant d'aller plus loin, dissipons immédiatement une confusion qui pourrait se glisser dans l'esprit des lecteurs. Cherchant, dans son Cours de Philosophie positive, à caractériser le rôle propre de l'arithmétique, Auguste Comte le définit comme un calcul des valeurs qui intervient, lorsque Talgèbre a terminé son rôle, pour évaluer définitivement la formule, et il ajoute que le champ de l'arithmétique « est par sa nature infiniment restreint' ». La définition de Comte convient à l'arithmétique élémentaire, dont l'utilité pratique est considérable. Mais, précisément, son utilité est tellement évidente qu'il n'est pas nécessaire de la mettre en relief. Par arithmétique ou par théorie des nombres nous entendrons principalement, dans ce qui va suivre, cette branche des mathématiques supérieures qui comprend la théorie des congruences, la théorie des résidus, la théorie arithmétique des formes, l'analyse indéterminée, l'étude des propriétés des nombres incommensurables, des nombres transcendants, etc. On voit, d'après cette énumération qui n'est nullement exhaustive, que l'affirmation de Comte, que « le domaine de l'arithmétique est infiniment resti'eint », n'a de sens qu'en ce qui concerne l'arithmélique

1. A, Comte, Cours de philosophie positive, 1'^ édition, p. 183. Ajoutons cependant que Comte atténue un peu son allirmation dans un commentaire (p. 185).

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élémentaire. Relativement à la théorie des nombres en général, il faut au contraire dire avec Hermite : « Quelle tâche immense pour la théorie des nombres de pénétrer dans la nature d'une telle multiplicité d'êtres de raison, en les classant en groupes irréductibles entre eux, de les constituer tous individuellement, par des définitions caractéristiques élémentaires ^ » Hâtons-nous d'ajouter que l'arithmétique supérieure se fonde sur l'aritlimétique élémentaire dont elle n'est que le prolongement ; nous verrons en effet plus loin comment les plus hautes généralisations arithmétiques sont liées directement aux théorèmes élémentaires sur la divisibilité des nombres entiers.

On pressentira déjà maintenant pourquoi les plus illustres mathématiciens modernes : Lao-rane-e, Gauss, Jacobi, Kummer, Dirichlet, Hermite se sont appliqués à approfondir cette branche de la science. Leurs travaux arithmétiques, mieux que des dissertations scolasliques sur l'un et le multiple, le continu et le discontinu, éclaireront celui qui cherche à connaître la nature des nombres.

Pour réaliser notre programme et montrer l'importance de la théorie des nombres, il faudrait caractériser brièvement (et surtout dans leurs rapports avec l'analyse et l'algèbre) les j)rincipales transformations de celte théorie à partir de Gauss,