LE NOMBRE IMAGINAIRE EN ARITHMÉTIQUE

Un des théorèmes fondamentaux de l'arithmétique est le suivant : un nombre non premier peut être décomposé d'une manière et d'une seule en

un nombre fini de facteurs premiers. Ce théorème se rattache au théorème d'EucHde d'après lequel un produit de deux nombres ne peut être divisible par un nombre premier que si celui-ci divise l'un des facteurs, et ce dernier théorème à son tour se démontre à l'aide de l'algorithme qui sert à la recherche du plus grand commun diviseur ^ Ces théorèmes étaient connus, du reste, à l'époque d'Euclide ; les géomètres grecs avaient touché le fond des choses, en celte matière, et fixé la base de la théorie de la divisibihté des nombres entiers. Si le premier théorème que nous venons de rappeler joue en arithmétique un rôle essentiel, c'est sans doute parce qu'il exprime un procédé élémentaire de la pensée, procédé d'après lequel elle cherche à saisir des éléments irréductibles. Les êtres à étudier forment, en efiet, deux classes : les êtres irréductibles et les êtres composés d'éléments irréductibles; division qui correspond dans la théorie arithmétique élémentaire à classer les nombres en nombres premiers et en nombres composés de nombres premiers. Les nombres premiers, selon l'expression de Dirichlet, constituent : « das material aus welchem aile anderen Zahlen sich zusammensctzen lassen ". » Le procédé de décomposition en éléments irréductibles n'est pas spécial aux

1. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen iiber Zahlentheorie,v'ierlo auflage. p. 8.