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nombres. On a par exemple souvent signalé l'analogie qui existe entre les pol3aiômes irréductibles et les nombres premiers ; dans la théorie des fonctions rationnelles, des fonctions trigonométriques, des fonctions elliptiques, les formules fondamentales expriment la décomposition de ces fonctions en produit de facteurs ou en somme d'éléments simples. Pour une fonction rationnelle F(x), par exemple, la formule de décomposition en facteurs a pour but de mettre en évidence les zéros et les infinis :

[x — b^] [x— bn) '

et la formule de décomposition en éléments simples :

F{x) = Co+G,x-{-C^x'-j- + CnX"+ ^ ■ ^

met en évidence les points où la fonction devient infinie et la façon dont elle devient infinie. Les formules de décomposition bien connues pour les fonctions trigonométriques et elliptiques ont le môme but que ces dernières.

Nous allons voir comment Gauss a été conduit à introduire en arithmétique la notion du nombre imaginaire, et comment on a été amené, à la suite de cette extension donnée à l'idée de nombre, à considérer des domaines numériques où le théo-

rème fondamental de la décomposition des nombres en facteurs premiers et l'algorithme du plus grand commun diviseur ne sont plus vérifiés. Les efforts des géomètres, notamment de Kummer, de Dedekind, de M. Klein et de M. Hilbert, ont eu pour but d'introduire dans l'arithmétique généralisée des principes tels que les lois élémentaires de la divisibilité fussent conservées dans tous les domaines numériques.

C'est dans le deuxième mémoire ^ sur la théorie des résidus biquadratiques (1832), que Gauss a introduit dans la théorie des nombres la notion du nombre complexe ou imaginaire. Depuis l'antiquité grecque aucune extension n'avait été donnée à la notion de nombre en arithmétique. Avant Gauss les seuls nombres entiers considérés étaient les

nombres 0, ± 1 , ± 2 Or, depuis longtemps déjà

l'algèbre connaissait des quantités de la forme a -\- bi, que l'on avait rencontrées tout d'abord dans la résolution de l'équation du deuxième degi'é. Les formules d'addition, de multiplication, d'extraction de racines, ainsi que la représentation géométrique de ces quantités étaient connues avant le mémoire dont nous parlons, et nous supposerons, puisqu'aujourd'hui elles font partie des éléments de l'algèbre, que le lecteur les connaît. L'originalité du deuxième mémoire sur la théorie des résidus biqua-

1. Gauss, Theoria 7-esiduoru7n biquadralicorum, commcntatio secunda.

dratiques consiste en ceci, que pour la première fois on introduisait en arithmétique une notion qui avait conservé jusqu'alors un caractère purement algébrique, de même que Toriginalité de Cauchy a consisté à introduire celte même notion dans la théorie des fonctions. Sans entrer dans le détail du mémoire, nous devons, au moins, en indiquer le sujet, afin de montrer d'une manière précise comment Gauss a introduit les quantités complexes.

Rappelons, tout d'abord, quelques notions élémentaires. Lorsque la différence entre deux nombres a ei b est divisible par un nombre m, les nombres a et ^ sont dits congrus module m, et cette propriété s'écrit

a^b (mod. m).

Lorsque la différence a — b n'est pas divisible par m, les nombres sont dits incongrus module m. Dans le premier cas chacun des nombres a et ô est le reste de l'autre, dans le deuxième cas il est un non-reste \ On conçoit qu'on peut considérer des congruences où interviennent des quantités inconnues; la congruence du premier degré à une inconnue a la forme

ax ^s b (mod. m), X étant l'inconnue.