Gauss, Disquisitiones arithmelicae

LA METHODE HISTORICO-GRITIQUE Hl

D'une manière générale, on appelle congruence de degré n, la congruence suivante

f[x) ^o(mod. m)

f{x) étant un polynôme entier en x h coefficients

entiers et du degré n. Résoudre la congruence,

c'est déterminer les valeurs entières de x qui y

satisfont.

Considérons simplement les congruences de la

forme

œ" ^ a (mod. m)

qu'on appelle congruences binômes. Si n = 2,

on a

x^^a (mod. m)

et le nombre a est appelé un reste quadratique par rapport au module m : c'est un nombre tel que la congruence précédente soit possible selon le module m.

Dans le cas où n= i, la congruence devient

a;*^ a (mod.ïw)

et dans le cas où l'on peut la résoudre, a est un reste biquadratique module m, dans le cas contraire, un non-reste biquadratique.

Dans la théorie des résidus quadratiques, on devra princi{)alement chercher à résoudre les deux problèmes suivants :

1° Etant donné le module m, quels sont les nombres a qui sont des restes quadratiques de m ?

2° Etant donné le nombre a, quels sont les modules dont a est reste quadratique ^?

La théorie des résidus biquadratiques est analogue à la théorie des résidus quadratiques, mais elle est plus comphquée; nous ne pouvons, bien entendu, en aborder ici l'exposition.

Dans son premier mémoire, Gauss établit d'abord un grand nombre de propriétés particulières intéressantes ; puis, dans le deuxième mémoire -, il constate que la méthode employée jusqu'alors ne peut donner une doctrine renfermant tous les cas, exposée sous une forme rigoureuse ; et il est amené, pour élaborer cette doctrine, à étendre le champ de l'arithmétique qui comprend désormais les nombres entiers complexes â^ + ôi {i=\/' — 1, a el b étant des entiers quelconques prenant toutes les valeurs entières de — ooà-|- oc.)

Le domaine des nombres entiers complexes a + bi comprend :

1° Les nombres entiers positifs, négatifs el zéro ;

2° Les nombres imaginaires entiers, où b^o, qui se divisent en imaginaires sans partie réelle, et imaginaires avec une partie réelle pour a=/=oeib^o.

La conception de Gauss s'étend au cas où û; et 6 sont fractionnaires ; si a et 6 sont simplement rationnels, le nombre complexe sera rationnel. Le