Cahen, Éléments de la théorie des nombres, p

2. Gauss, Tkeoria residuorum biq uadrnlicorum, commeiitatio socunda, § 30.

domaine des nombres complexes de Gauss a -\- bi, ainsi étendu, jouit des mômes propriétés (jue le domaine des nombres rationnels, c'est-à-dire que les nombres complexes a-\-bi se reproduisent par addition, soustraction, multiplication et division et que les théorèmes fondamentaux que nous avons rappelés plus haut sont encore vrais pour tous ces nombres. Signalons que, selon la dénomination de Dedekind, on appelle corps Tensemblc des nombres qui se reproduisent par addition, soustraction, multiplication et division. Rappelons encore que les nombres complexes de Gauss admettent les quatre unités ±1,± 7, tandis que le corps R des nombres rationnels admet les deux unités ± 1 . Nous aurons encore besoin dans la suite de la notion suivante : on appelle norme d'une imaginaire a-^ôi, le produit («-f- hi) [a — bi) =r«--f-ô", qui se représente par N (a + ^0 = «" + ^>' ; c'est le produit de deux nombres imaginaires conjugués. La norme est toujours un nombre réel.

Les nombres de Gauss admettent aussi des nombres premiers et des nombres composés. Le nombre complexe composé est le nombre complexe qui se fc'/ divise en facteurs premiers complexes qui ne sont M pas des unités. Mais ici se produit un phénomène intéressant. Tandis que les nombres premiers réels delà forme ih + 3, c'est-à-dire 3, 7, II... etc., restent premiers dans le domaine des nombres complexes de Gauss, les nombres premiers de la

WiNTEH. 3

forme 4A-|-1, c'est-à-diro 5, 13, M... etc., auxquels il faut ajouter le nombre 2, sont décomposables en facteurs complexes :

(3 — 2j)... etc.

Le lecteur familier avec la théorie des nombres se rappellera le théorème suivant dû à Fermât : Tout nombre premier de la forme i h ~\- i est décomposable, d'une seule façon, en une somme de deux carrés. Or, l'introduction du nombre complexe rend presque immédiate la démonstration die ce théorème important. On voit sur cet exemple la puissance de la conception de Gauss.

On peut se demander maintenant, comment on reconnaîtra un nombre premier complexe de la forme a + bi d'un nombre complexe co?nposé. La proposition suivante donne ce critérium : Chaque nombre entier complexe a + bi est premier ou composé selon que sa norme est un nombre premier ou un nombre composé. En dehors des quatre unités les nombres premiers du corps J (nombres de Gauss) sont :

l°Les nombres premiers rationnels de la forme 4A + 3..

2° Le nombre 1 + z (et les nombres qui lui sont conjugués).

3° Les nombres a -\- bi dont la norme est un nombre premier rationnel de la forme ih-{- 1 .

Enfin on établit ' qu'on peut trouver par un nombre fini de divisions, le plus grand commun diviseur de deux nombres complexes entiers quelconques du corps /; qu'un nombre premier complexe de ce corps ne peut diviser un produit s'il ne divise au moins l'un des facteurs ; qu'un nombre composé peut toujours, et d'une seule manière, être mis sous la forme d'un produit de nombres premiers, quatre nombres premiers associés ne comptant que comme représentants d'un seul et môme nombre premier. Les lois de la divisibilité du corps J coïncident donc avec celles du corps R des nombres rationnels.

11 y a, d'ailleurs, d'autres nombres entiers quadratiques qui jouissent des mômes propriétés arithmétiques que les nombres ratioimcls, ce sont les nombres complexes a -\- b^ pour lesquels a ei b prennent toutes les valeurs rationnelles et entières y compris zéro, et oîi 9 est racine de l'une des équations

La conclusion que nous tirons de cet exposé, Ic'est que grâce à l'introduction des nombres a + bi, JGauss a apporté un perfectionnement considérable [à certaines théories arithmétiques, comme la théo-

1. Gauss, loc. cil., § 37. et Dirichlet : Recherches sur les [formes quadratiques à coefficïenls et à indéterminées com- Xplexes, Jouryial de Crelle, l. XXIV.

rie des résidus biquadratiques, et a rendu très simple la démonstration de plusieurs théorèmes comme celui de Fermât. Mais toute médaille a son revers, et comme nous l'indiquions plus haut, les idées de Gauss ont suggéré la considération de certains domaines numériques, où les lois de la divisibilité des nombres rationnels ne sont plus vérifiées, où l'arithmétique élémentaire semble donc bouleversée. Nous allons considérer maintenant ces domaines numériques, et nous verrons comment les géomètres ont remis de l'ordre dans cette apparente anarchie ^ ,