LES NOMBRES IDÉAUX ET LES IDÉAUX

Kummer, en étudiant la théorie arithmétique de la division du cercle, a remarqué des nombres qui ne présentent pas les caractères fondamentaux de

1. Nous ne pouvons donner dans cette étude que des indications générales et par conséquent incomplètes. Nous devons, cependant, pour éviter une confusion possible, rappeler le mémoire célèbre de Galois (Œuvres, p. 15), où le grand géomètre introduit la notion d'imaginaire qu'on appelle imaginaire de Galois. La théorie de Galois a une grande importance dans la théorie des nombres. Nous renvoyons à l'excellent exposé qu'en a donné M. Borel (lntroductio7ià la théorie des nombres, Nony, 1895. p. 58). Faisons remarquer, seulement, qu'il n'y a aucun rapport entre l'imaginaire de Galois et le nombre complexe de Gauss. Le symbole i est défini dans le premier cas par la congruence irréductible f(i) ^ q (mod. p),et dans le second cas par l'égalité i*-{-l = o.

Tarithmétique élémentaire. Les nombres signalés par Kummer peuvent se représenter de plusieurs manières entièrement distinctes sous la forme d'un produit de nombres indécomposables, et, par suite, ces nombres ne vérifient pas non plus le théorème d'après lequel un nombre premier ne peut diviser un produit de plusieurs facteurs s'il ne divise au moins l'un d'eux. Kummer est parvenu à faire coïncider l'arithmétique de ces nouveaux domaines de nombres avec celle des nombres rationnels, par l'introduction d'une nouvelle notion, celle de not7ibres idéaux qui, selon ses propres expressions, « rendent visible, pour ainsi dire, la constitution intérieure des nombres * ».

Il est intéressant, au point de vue ps3'chologique tout au moins, avant de commencer l'exposition technique de ces nouvelles notions mathématiques, de rappeler les considérations philosophiques qui ont conduit Kummer à sa découverte. Elles sont contenues dans le mémoire que nous venons de citer. « Qu'il me soit permis de signaler ici en peu de mots l'analogie de cette théorie de la composition des nombres idéaux avec les principes fondamentaux de la chimie. La composition des nombres complexes peut être envisagée comme l'analogue de la combinaison chimique ; les facteurs premiers correspondent aux éléments ou plutôt aux équiva-