Kummor, Journal de Liouville, vol. XVI, année
lents de ces éléments. Les nombres complexes idéaux sont comparables aux radicaux hypothétiques qui n'existent pas par eux-mêmes, mais seulement dans les combinaisons ; le fluor ^, en particulier, comme élément qu'on ne sait pas représenter isolément, peut être comparé à un facteur premier idéal. La notion de l'équivalence des nombres idéaux est, au fond, la même que celle de l'équivalence chimique... En comparant les méthodes de décomposition de l'analyse chimique à celles de la décomposition des nombres complexes, on trouve encore des analogies surprenantes. Car, de même que les réactifs chimiques, joints à un corps en dissolution, donnent des précipités au moyen desquels on reconnaît les éléments contenus dans le corps proposé, de même les nombres que nous avons désignés par ^ (tj) comme réactifs des nombres complexes, font connaître les facteurs premiers contenus dans les nombres complexes en mettant en évidence un facteur premier q... Toutes ces analogies qu'on pourra poursuivre et augmenter à volonté, ne proviennent pas d'un jeu d'esprit oisif, mais elles sont bien fondées en ce que les mêmes idées fondamentales de la composition et décomposition des éléments régnent aussi bien dans la chimie
1. Il ne faut pas oublier que ce mémoire a été publié en 1851. Aujourd'hui on sait isoler le fluor, mais on ne sait pas isoler l'ammonium, par exemple. On trouverait aussi dans la chimie organique des radicaux non isolables.
des matières naturelles que dans celle des nombres complexes. »
Kummer considère les nombres indécomposables mais qui ne se comportent cependant pas comme de véritables nombres premiers, comme des produits de facteurs premiers idéaux qui ne se manifestent que dans la combinaison, et n'ont aucune existence iiidépendanlo propre. Le nombre idéal n'est pas détirii on lui-même, Kummer définit seulement la divisibililt' par le nombre idéal. Ainsi, si un nombre a possède une propriété A, qui en définitive consiste en ce que a satisfait à une ou plusieurs congruences, a est divisible par un nombre idéal déterminé, qui correspond à la propriété A. Mais, cette conception qui a donné de surprenants résultats dans le domaine de l'arithmétique supérieure, offre cependant de graves défauts que Dedekind a parfaitement mis en relief, et il a été amené à substituer à la conception de Kummer une conception différente, mais inspirée par le môme principe. Résumons donc brièvement les considérations qui ont amené Dedckind à modifier la conception de Kummer'. D'abord la méthode de Kummer pourrait entraîner des confusions fâcheuses entre la théorie des nombres idéaux et celle des nombres rationnels. D'autre part, il est
1. Dedekind. Sur la théorie des nombres entiers algébriques, apud BulleLin des sciences malliémaliques et astronomiques, 1876 et 1877.
nécessaire d'obtenir une définition unique et exacte pour tous les domaines numériques que l'on pourra considérer, et de posséder, en même temps, une définition générale de leur multiplication. On aurait alors réalisé le but de Dedekind qui est « de développer les principes fondamentaux de la théorie générale, échappant à toute exception, des nombres entiers algébriques ». Or, lorsqu'on veut, avec les seuls moyens de Kummer, réaliser les conditions que nous venons d'exposer, on aboutit à des propositions d'une extrême complication. Dedekind évite l'introduction des nombres idéaux grâce à la théorie suivante : « comme une propriété caractéristique A sert à définir non un nombre idéal lui-même, mais seulement la divisibilité des nombres contenus dans un domaine numérique par un nombre idéal, on est conduit naturellement à considérer l'ensemble de tous les nombres a du domaine considéré qui sont divisibles par un idéal déterminé ; fappellei'ai un tel système un idéal, de sorte que à tout nombre idéal déterminé correspond un idéal déterminé *. » Nous venons de donner l'idée générale de ce que Kummer entend par un nombre idéal et de ce qui, d'après Dedekind, constitue un idéal. 11 nous reste à préciser ces notions, en montrant comment elles se comportent, effectivement dans leur usage ma-
1. Dedekind, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, 1877.
Ihémalique. Nous empruntons à Dedckind un exemple particulier assez simple pour que la notion du nombre idéal de Kummer soit seule employée. Nous verrons après comment Dedekind introduit son idéal, et nous résumerons les principaux résultats qu'il obtient pour le cas général des entiers algébriques.
Considérons un nombre complexe a:-f-yO. Mais tandis que les nombres de Gauss doivent être considérés comme des nombres x-\-y^, où 0 est racine
d'une équation
dans les nombres que nous considérons maintenant, Q est racine de l'équation :
Dans le domaine de tous les nombres x-\-^i/ que nous considérons, se produit précisément le fait singulier que nous avons signalé : un seul et même nombre composé peut être représenté de façons complètement différentes sous la forme d'un nombre fini de facteurs indécomposables.
Soient les quinze nombres suivants :
Co = 2 — 36 ;
rf, = l— 6;
Chacun de ces nombres est indécomposable ; on peut le démontrer en se servant de la théorie des formes quadratiques binaires \ mais, il nous suffît de retenir le résultat. Or, bien que ces nombres soient indécomposables, il existe entre eux les relations suivantes :
ab = dj do'
abi := d,,
ac = e^Co.
C~ = C| Cj,
ac^ = ef ,
