Dirichlet, Vorlesungenûber Zahlentheorie,%li

considérant la façon dont il se comporte comme diviseur \ Ainsi, si l'on sait que le nombre positif a ne divise un produit de deux carres que si l'un des carrés au moins est divisible par a, a est égal à 1, ou à un nombre premier, ou au carré d'un nombre premier. De môme, un nombre a doit contenir au moins un facteur carré, lorsqu'il existe un nombre non divisible par a, et dont le carré est divisible par a. Si un nombre a réunit les deux caractères précédents, il est le carré d'un nombre premier.

Examinons le nombre 2, au point de vue que nous indiquons, dans le domaine particulier considéré par Dedekind. Soient w et w' deux nombres de ce domaine. Pour que 2 divise oj-to'"' et par suite le produit des nombres rationnels N(to) N((o'), il faut que l'une des normes et l'un des carrés au moins soient divisibles par 2. Si a: et y sont impairs, Lyi=x-\-y^i n'est pas divisible par 2, et son carré est divisible par 2. En tenant compte des précédentes observations, on peut dire que 2 se comporte dans le domaine considéré comme s'il était le carré d'un nombre premier a.

Quoique ce nombre a n'existe pas dans le domaine considéré, Kummer l'introduit sous le nom de nombre idéal. On reconnaît que ce nombre idéal a possède le caractère d'un nombre premier en ce sens que tout produit de deux nombres non

1. Dedekind, Bulletin des sciences malhémaliqiies et astronomiques, 1877.

divisibles par a est non divisible par a. On examine d'une manière analogue les nombres 3 et 7 ; qu'il nous suffise d'indiquer que, de môme que 2 se comporte comme le carré d'un nombre idéal, 3 se comporte comme le produit des deux nombres premiers idéaux [Bj, ^^, et 7 comme le produit des nombres premiers idéaux y^ et yj, etc.

Revenons aux quinze nombres que nous avons examinés plus haut et considérons-les comme des nombres entiers [a étant un nombre premier avec b ei c). Nous pourrons exprimer ces quinze nombres indécomposables comme des produits de nombres premiers idéaux désignés par a, '^^, ^^j Y^ Tj qui vérifient les formules (11) ; nous aurons :

fe = Pih> c = YiT2-

h=p->'7 Cl = Y?, ^2 = y1 :

d, = aPi,

d2 = ap2; ei=aY„ e, = ay.^;

A=PiTi.

fî = P2Y2 ; 9i. = Piï2. 92 = hii-

Nos quinze nombres indécomposables se comportent dans les questions de divisibilité, relatives au domaine numérique considéré, comme s'ils étaient composés au moyen de cinq nombres premiers idéaux a, [^j, 13., y,, Ta-

Grâce à l'introduction de ces notions nouvelles, les lois de la divisibilité du domaine considéré deviennent régulières. Sans étudier ces lois en détail, indiquons qu'on obtient le théorème suivant : « Tout nombre existant io = x-\-y^, difîérent

de zéro et de itl, est ou un nombre qui possède les caractères propres aux nombres premiers, ou bien il se comporte dans toutes les questions de divisibilité, comme s'il était un produit composé d'une manière complètement déterminée de facteurs premiers existants et idéaux. »

Mais, pour des raisons que nous avons sommairement indiquées plus haut, Dedekind ^ remplace le nombre idéal de Kummer par l'idéal qu'il introduira de la manière suivante. Considérons le système A de tous les nombres a)=::rH-y 0, divisibles par le nombre premier idéal a; considérons de même les systèmes Bj, B,, C,, C,^ des nombres i» divisibles respectivement par les idéaux premiers |3j, PjjYi, f-2' Désignons par M un des cinq systèmes précédents, M jouira des deux propriétés suivantes:

1° Les sommes et les difîérences de deux nombres du système iNI seront toujours des nombres de ce même système M.

1. D. Hilbert dans un mémoire fondamental, (publié en 1897 par la Deutsche Malkemaliker Veveinigung) auquel devra toujours se reporter le mathématicien, a systématisé et refondu la théorie de Dedekind. Au point de vue de la genèse des idées élémentaires, auquel nous nous sommes placé, il n'est pas nécessaire de résumer ici le travail de Hilbert. La définition suivante qu'il donne de l'idéal équivaut à celle de Dedekind : « un système d'un nombre infini d'entiers algébriques a,, a.... du corps K. tel que toute combinaison linéaire X, a, -f X. a.... (où X,, X.... sont des nombres entiers du corps) ap])artienne encore au système est dit un idéal.» (Trad. française de A. Lévy : Annales de la Faculté de Toulouse, 1909.)

2° Tout produit d'un nombre du système M et d'un nombre du domaine numérique considéré est un nombre du système M.

« Nous appellerons, maintenant, tout système M, composé de nombres du domaine considéré et jouissant des deux propriétés 1° et 2°, un idéal. » Dans l'exemple développé précédemment, les idéaux n'ont été considérés que dans le domaine des nombres co = a; + y 0 (pour 0 racine de l'équation 0^ ^ — 5). Mais Dedckind, pour réaliser le programme qu'il s'est tracé, les introduit dans le domaine des nombres entiers algébriques^ en général. Nous ne suivrons pas Dedekind dans l'exposé de toute sa théorie. Il nous suffira d'avoir caractérisé le problème qu'il fallait élucider et d'avoir déterminé le principe nouveau qui a permis de le résoudre ; principe qui consiste à considérer tout système M, composé de nombres entiers du corps étudié qui possède les propriétés 1" et 2% comme un idéal du corps. Il s'ensuivra que : « Les lois de la divisibilité des nombres algébriques sont entièrement contenues dans les lois de la divisibilité des idéaux' ». 11 nous suffira donc d'indiquer quelquesunes des lois principales de la divisibilité des