LA NOTION DE GROUPE EN ARITHMÉTIQUE

La théorie des groupes est aujourd'hui familière à tous les mathématiciens, et nous pouvons admettre que, sous sa foi-me élémentaire, elle est connue aussi des philosophes qu'intéresse la philosophie

1. Pour être complet, il aurait fallu e.xposer la théorie de l'idéal de Klein. Mais les théories de Dedekind et de Klein sont équivalentes : nous avons donc cru pouvoir nous abstenir d'e.xposer les idées du célèbre géomètre de Gocllingen pour ne pas donner trop d'étendue à notre étude.

des mathématiques. Car, dès l'année 1898, M. Couturat faisait paraître une excellente étude ^ où il montrait la portée générale de la théorie des groupes. Plus récemment, dans un remarquable exposé fait à la Société de philosophie % M. Bourlet a exposé les premières notions sur lesquelles repose la théorie des groupes et a indiqué le parti que la géométrie élémentaire pourrait tirer de la conception due au génie de Galois. Nous supposerons donc que le lecteur possède ces éléments, et nous chercherons à donner une idée du rôle considérable que la notion de groupe joue en arithmétique. Pour cela, et sans entrer dans beaucoup de développements que cette étude ne comporterait pas, nous montrerons les liens étroits qui unissent la notion de groupe de substitutions à une notion qui joue en arithmétique un rôle essentiel : la notion de classe de formes. Nous ferons voir ensuite que de cette notion dépend la solution d'un problème arithmétique essentiel, celui de la représentation des nombres par des formes. Mais pour faire saisir aux lecteurs comment ces notions se rattachent, il est nécessaire de rappeler certaines notions élémentaires.

On appelle forme un polynôme entier homogène.

1. Goulurat, Revue de Métaphysique et de Morale, 1898, p. 437.

2. Bourlet, apud Bulletin de la Société française de Philosophie, séance du 21 mars 1907.

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Selon que le polynôme est du premier, deuxième, troisième degré, etc., la forme est dite linéaire, quadratique, cubique, etc. Les formes se divisent encore selon le nombre de leurs variables, en formes à une variable, à deux variables ou formes binaires, à trois variables ou ternaires, etc. Par exemple, la forme quadratique binaire s'écrit : ax"' -\- 'ibxy -j- cy^ .

(On peut toujours considérer que le terme du milieu est pair, sinon on multiplierait la forme par 2),

L'expression ac — b- s'appelle le discriminant de la forme et se représente par D ; l'expression ô^ — ac s'appelle son déterminant et se représente par A. Une des plus importantes questions de l'arithmétique sera de savoir quels sont les nombres qui sont représentables par une forme, c'est-à-dire ceux pour lesquels on ait :

ax- 4- 2bxy -f- cy- = h,

lorsqu'il s'agit, par exemple, de la représentation par une forme quadratique binaire. (Nous supposons les coefficients entiers.) Nous ne pourrons pas donner ici la réponse complète à ce problème qui a un caractère trop technique. Mais sa solution repose sur la considération de formes de môme classe, et cette notion est liée à la notion dégroupe, comme nous allons le voir immédiatement. On sait que, étant donnée la forme ax- -f- 2bxy -\- cy-,

WiNTER. 9

faire dans cette forme une substitution linéaire ^ n, c'est remplacer

X par aa;'4- ^y\ ?/ par yx' + 02/'.

La forme que l'on obtient après cette substitution s'appelle la transformée de la première. L'expression ao — ^y s'appelle le déterminant de la substitution. Si Ton passe d'une forme à une autre forme par une substitution linéaire telle que ao — ^y = ± 1, les deux formes sont dites équivalentes. Les substitutions de déterminant = -|- 1 s'appellent substitutions modulaires. Toutes les substitutions modulaires forment un groupe qui s'appelle le groupe modulaire^. On dit que deux formes appartiennent à la même classe, quand on passe de Tune à l'autre par une substitution du groupe modulaire, et l'on appelle classe de formes^ toutes les formes qui se déduisent de l'une d'elles par des substitutions du groupe modulaire. Et alors se posent les deux problèmes que nous nous bornons à énoncer :

1° Etant données deux formes de même discriminant, voir si elles appartiennent ou non à la même classe ;

2" Quand deux formes appartiennent à la même

1. On dit que des substitutions forment un groupe, quand, 1» le produit de deux de ces substitutions appartient au groupe, 2» l'inverse d'une substitution du groupe appartient au groupe.

LA MÉTHODE HISTORIGO-CRIÏIQUE 131

classe, trouver Jes substitutions modulaires qui permettent de passer de l'une k l'autre \

En ce qui concerne la solution du problème général de la représentation des nombres par une forme quadratique binaire, contentons-nous de dire que la théorie des résidus quadratiques donne une première condition- nécessaire, mais non sudisante pour qu'un nombre soit proprement^ représenté par une forme. Cette condition étant réalisée, le problème consistera précisément à voir si deux formes qui ont été déterminées de certaine façon appartiennent à la même classe ou non *. On voit, par cet exemple, l'importance de la notion de groupe de substitutions en arithmétique.

LA VAKLABLE CONTINUE EN ARFrUMÉTIQUE

« L'introduction de variables continues dans certaines formes quadratiques a été l'idée fondamentale qui a dominé la longue suite des travaux arithmétiques d'Hermite '. » Ainsi s'exprime M. Picard