Ibid., I, p. 164 et suiv

formes réduites doivent vérifier certaines conditions (c ^ « ^2/6/ ; a^ — 2lbl). Or, on divise les formes quadratiques binaires en deux catégories : les formes définies et les formes indéfinies. On appelle formes définies, les formes pour lesquelles la quantité b' — ac est négative. On appelle formes indéfinies, celles pour lesquelles la quantité b- — ac est positive*. Or, en ce qui concerne les formes définies, Gauss a montré comment, au moyen d'un nombre fini de substitutions modulaires, on pouvait toujours déterminer leurs réduites.

Pour déterminer les réduites des formes indéfinies, Hermite introduit la variable continue de la manière suivante :

on associe à la forme quadratique binaire indé' finie

F = ax^ + ihxij + cy-

la forme définie positive,

<^={X — ai'y)2 + 8 (x — to"y)2,

ui' et eu" étant les racines de l'équation en - obtenue

en égalant F à zéro.

On fait ensuite varier d'une manière continue

le paramètre B de zéro à l'infini, et on obtient de

cette façon toutes les formes associées. On peut

1. Nous nous sommes souvent inspiré des notes du cours magistral de M. G. Ilumbert, professé au Collège de France en 1906-1907. Ce cours étant inédit, nous ne pouvons y faire de références plus précises.

définir maintenant ce que l'on entend par réduites d'une forme indéfinie F. On prend son associée <ï>, et on donne à H une valeur déterminée; on saura, en vertu de la méthode de Gauss, trouver la substitution modulaire S qui réduit la forme définie $. Appliquons à F la même substitution S, la forme ainsi obtenue sera dite une réduite de la forme F. Mais si 9 varie d'une manière continue, les réduites ne varient pas d'une manière continue. On voit, en effet, immédiatement, qu'une réduite R, pour une valeur particulière 9^ de 9 restera réduite pour toutes les valeurs qui continueront à satisfaire aux inégalités des réduites. La suite des réduites est discontinue ; on montre de plus que cette suite est illimitée, et que les réduites se reproduisent. Mais il n'est pas nécessaire que nous entrions dans plus de détails, il nous suffît d'avoir indiqué le parti que l'on a pu tirer, dans une question purement arithmétique, de l'introduction d'une variable continue. Ajoutons, cependant, que M. Poincaré a découvert un mode de représentation des formes indéfinies par certains réseaux, grâce auquel il a été conduit à une définition nouvelle de la réduction de ces formes. Cette conception permet de représenter géométriquement et d'une façon très simple la réduction continuelle des formes indéfinies.

Nous voudrions indiquer, maintenant, que l'application des principes moins élémentaires de l'analyse à l'arithmétique a encore donné de beaux résultats.

mais à cause du caractère technique des problèmes, nous nous bornerons à énoncer deux des principales applications.

Dirichlet', dès 1837, a démontré, au moyen des séries infinies, le théorème arithmétique suivant énoncé par Legendre : toute progression arithmétique dans laquelle le premier terme et la raison sont premiers entre eux contient une infinité de nombres premiers. Cette proposition est la généralisation du théorème élémentaire démontré par Euclide " : La suite naturelle des nombres contient une infinité de nombres premiers.

L'application des principes de la théorie des fonctions elliptiques a permis de résoudre, avec une grande élégance, bien des problèmes de la théorie des nombres concernant par exemple la décomposition des nombres en sommes de carrés.

Si les mômes notions fondamentales : nombre imaginaire, variable continue, séries infinies, théorie des groupes se montrent aussi fécondes en analyse qu'en arithmétique, c'est qu'il existe entre ces deux branches de la science des liens profonds, c'est qu'elles forment un ensemble dont les parties sont

d . Dirichlet, Vorlesungen iiber Zahlenlheorie, p. 342, et Abhandlungen der Berliuer Akademie. 1887.