Euclide, Eléments, IX

solidaires. Cette solidarité explique pourquoi, lors- (|u'on pousse assez loin les théories les plus élevées (le l'analyse, théorie des fonctions elliptiques, des ("onctions abéhennes, des fonctions fuchsiennes, on rencontre des problèmes arithmétiques. L'intérêt de la théorie des nombres, que les ignorants considèrent comme un jeu stérile de l'esprit, est donc toujours fondamental.

Nous avons vu comment le génie de Gauss avait renouvelé l'arithmétique, et nous avons indiqué, beaucoup trop brièvement sans doute, comment elle s'est transformée depuis Gauss. Ces transformations se sont accomplies conformément aux lois du progrès scientifique, en ce sens que les résultats véritablement acquis à la science l'ont été définitivement. Mais des notions plus compréhensives ont été successivement mises en évidence ; alors les théorèmes primitifs sont entrés comme des cas particuliers dans des théorèmes beaucoup plus généraux, la science s'élargissant, pour reprendre une expression classique, « en ondes concentriques ». Les ondes les plus larges, loin de détruire par un mouvement contraire celles qui sont de dimensions plus petites, les situent, si l'on peut dire, et déterminent leur portée.

L'arithmétique reste la science type. Sous sa forme élémentaire, en effet, elle est l'instrument indispensable du marchand, de l'ouvrier, de l'ingénieur, elle est l'outil intellectuel le plus nécessaire

à ractivilé économique ; sous sa forme supérieure, elle demeure, à cause de la précision de ses notions, la branche des sciences où les démonstrations des vérités sont données de la manière la plus rigoureuse. Le philosophe trouvera donc dans l'arithmétique un objet solide sur lequel sa réflexion pourra s'exercer, d'autant plus que cette branche des mathématiques exige une moins grande somme de connaissances techniques que l'analyse ou que la géométrie. INIais, nous ne cesserons de le répéter, pour que cette réflexion philosophique soit efficace, il faut qu'elle s'oriente dans le sens même de la science ; il faut qu'elle s'efTorce de faire progresser, avec ses propres moyens, la science positive, et qu'elle ne s'égare pas dans de vagues théories de la connaissance, qui ne sont, généralement, que des théories de l'ignorance.

Ajoutons, en terminant, que le philosophe ne tirera pas seul profit d'une instruction arithmétique approfondie. Cette instruction fait défaut, chose singulière, à bien des mathématiciens. Il serait évidemment utile à certains géomètres contemporains d'avoir été soumis à la rude discipline de la théorie des nombres. L'exposition de leurs théories y gagnerait en clarté et en rigueur. D'ailleurs, si l'arithmétique possède une pareille vertu éducative, c'est parce que les nombres forment, en quelque sorte, l'armature môme de l'intelligence.

B. — L'ALGEBRE

Parmi les théories qui constituent l'algèbre, la théorie des équations occupe une position centrale. La plupart des doctrines algébriques, comme la théorie des substitutions, la théorie des déterminants, etc., qui ont actuellement, si l'on peut dire, une sorte de vie autonome, ont été, à l'origine, élaborées à propos du problème de la résolution des équations algébriques.

Au point de vue de la genèse des idées fondamentales de l'algèbre, auquel nous allons nous placer dans cette étude, la théorie des équations jouera un rôle essentiel ; il importe donc de caractériser tout d'abord son objet. Soit :

a^x" -\- a^x** - * + a.^x" " ^ + -{- a„ ^ ix -\- an = 0

une équation algébrique complète de degré n à une inconnue, c'est-à-dire possédant toutes les puissances entières positives et décroissantes de a: à partir de a:°, les a étant des quantités connues ; le théoî'ème fondamental de l'algèbre nous apprend qu'une équation de degré n a toujours n racines réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues. Le problème de la théorie des équations algébriques consisterait à calculer dans le cas général ces n racines, et pour cela à les exprimer en fonction des

quantités connues. Quelles sont les méthodes les plus générales qui nous permettent aujourd'hui d'aborder le problème delà résolution des équations d'ordre supérieur? C'est ce que nous voudrions essa} er d'exposer. Mais la science n'est pas arrivée du premier coup aux méthodes actuelles, et c'est précisément en cherchant à surmonter les difïicultés que l'on rencontre dans le problème de la résolution des équations algébriques, que l'on a formulé les principes de théories qui, d'abord simples doctrines auxiliaires, devaient avoir sur toute la science mathématique un retentissement considérable. C'est cette constatation qui fait l'intérêt philosophique de notre étude. Donnons d'abord une vue d'ensemble de l'évolution de l'algèbre depuis le x\ii^ siècle jusqu'à nos jours.

Le premier mathématicien qui ait conçu l'idée d'une méthode générale de résolution des équations algébriques est Tschirnhaus '. La conception de Tschirnhaus est mise en évidence par le titre môme de son travail : Nova Methodus aiiferendi omnes terminos interme dios ex data œqiiatione '-. Nous aurons plus lard à revenir sur la méthode de Tschirnhaus ; qu'il nous suffise maintenant de rappeler que Tschirnhaus croyait pouvoir ramener toute équation complète de degré n, à une équation

1. Tschirnhaus, mathi'malicien et physicien, né en Allemagne en 1651, mort en 1708.