Ibid.. p

nisme de la résolubilité des équations, en rattachant définitivement cette question à la ttiéorie des groupes de substitutions. Ainsi, un simple problème d'algèbre avait donné naissance à une théorie absolument nouvelle qui, en s'élargissant, allait avoir sur les diverses branches des mathématiques, analyse, géométrie, mécanique, une influence considérable. Quoique la théorie de Galois contînt les principes d'une théorie absolument générale de la résolubilité, le problème n'était cependant pas effectivement résolu par le travail de ce géomètre. Grâce à Lagrange, à Gauss, à Abel, à Galois, on connaissait le véritable mécanisme de la résolubiUté par radicaux des équations complètes des quatre premiers degrés et de classes importantes d'équations d'ordre supérieur pour lesquelles il existe des relations particulières entre les racines (équations cycliques, équations abéliennes). Mais quand les racines d'une équation n'étaient pas calculables par des radicaux, l'équation était considérée comme non résoluble. Fallait-il donc se contenter de la solution négative d'Abel dans son mémoire sur l'équation du 3* degré, d'après lequel les équations générales d'ordre supérieur au 4^ ne sont pas résolubles par radicaux ? Ne pouvait-on chercher à représenter les racines des équations non résolubles par radicaux par certains éléments analytiques nouveaux ? Hermite le premier s'attaqua à ce problème. Il rattacha l'étude de l'équation

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complète du 5" degré aux équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques. Grâce à l'introduction de quantités auxiliaires, il parvint à représenter les racines séparément par des fonctions uniformes, et par suite il les calcula par des développements en séries ; Kronecker, à la même époque, aborda le même problème avec des méthodes analogues. M. G. Jordan généralisa et systématisa la théorie de Galois et en fit un véritable corps de doctrine ; enfin, M. Klein devait donner au problème fondamental de l'algèbre la forme la plus générale qu'il semble comporter aujourd'hui ; considérant une équation de degré n, M. Klein détermine le groupe fini de substitutions linéaires homogènes des n variables correspondant ; puis il calcule les valeurs des n variables au moyen des invariants du groupe (Formenproblem). « Le problème le plus simple, le problème normal, sera celui où il se présente le plus petit nombre de variables. Ce problème doit être regardé comme résoluble au moyen de séries quelconques ^ » Le problème théorique est résolu uniquement par des considérations algébriques, mais le calcul effectif des racines se fera par des procédés analytiques au moyen des fonctions elliptiques. iXous développerons plus loin les idées de AI. Klein. Qu'il nous suffise, pour Tinstanl, de

1. Klein, Conférences sur les malhémaliques, trad. Laugel, p. 72.

remarquer que M. Jordan et M. Klein, en généralisant la théorie de Galois, ont mis parfaitement en évidence les principes fondamentaux sur lesquels est fondée la théorie de la résolubilité, entendue au sens le plus général.

Dans ce qui va suivre, nous allons successivement développer les différentes théories qui correspondent aux phases de l'évolution dont nous venons rapidement de donner un aperçu général. Nous avons dit que les principes, que les algébristes ont été amenés à introduire dans la constitution de leurs théories, avaient eu un retentissement sur toute la science mathématique. En effet, c'est l'étude des racines de Féquation du deuxième degré qui a primitivement donné naissance aux variables imaginaires dont l'introduction dans la théorie des fonctions devait amener les résultats que Ton sait. La théorie des groupes, théorie qui, transportée en analyse et en géométrie, a déterminé l'un des principaux progrès des mathématiques au XIX' siècle, est aussi d'origine algébrique, et Ton pourrait multiplier les exemples de ce

genre

Nous ne nous astreindrons pas à suivre la méthode simplement historique ; nous inspirant de l'exemple de Mach^ et cherchant à appliquer aux mathématiques la méthode à la fois critique