LES MÉMOIRES DE LAGRANGE

On peut, pour la clarté des idées, et sans attribuer à cette distinction une valeur absolue, ramener à deux types principaux les méthodes de résolution des équations algébriques. Le premier type se réduit à une transformation de l'équation considérée, le deuxième consiste dans la construction de résolvantes.

Tschirnhaus, le premier, a cherché à résoudre, par la transformation des équations, le problème général de l'algèbre. Lagrange, au contraire, a appliqué le second procédé.

Nous nous efforcerons tout d'abord de donner les traits essentiels de la méthode de Tschirnhaus qui correspond au premier type et qui est développée, comme nous l'avons déjà indiqué, dans un travail intitulé : Nova methodus auferendi omnes terminos iîitermedios ex data œquatione.

L'équation générale ayant la forme, f{x) — .r» + a,x" -1+ +rt„ia; + a„=rO, (1)

supprimer les termes intermédiaires, c'est ramener l'équation précédente à une équation

c'est-à-dire à une équation binôme que nous savons aujourd'hui être résoluble par des radicaux. Mais en quoi consistait exactement la méthode de Tschirnhaus et ne s'abusait-il pas sur la portée de cette méthode ?

Soit l'équation (1) que nous venons d'écrire. Tschirnhaus pose :

y = cp (.c) = a + ?.r 4- Yo;-^ + + (jl-ï" -^ (3)

les a, ^, y... étant pour le moment indéterminés. Puis il élimine x entre (1) et (3) c'est-à-dire qu'il forme le résultant * des relations / [x] ^ o et y — cp(x) = 0 ; soit ^[y] ce résultant. La transformation de Tschirnhaus a pour but de faire disparaître dans l'équation transformée ^ (y) = o, assez de coefficients pour que l'équation devienne résoluble ; on se sert pour cela de l'indétermination des coefficients a, [3,... de la relation (3). Lorsque les

1. On sait qu'on appelle résultant de deux polynômes f{x) et<p(a;), l'expression suivante : ?(a,) o[t^)... o(a„) : les a„ ïj,... an, étant les racines du polynôme /U), dont nous supposons le coefficient du terme de degré le plus élevé égal à 1 pour plus de simplicité.

racines y^, Vi'", yn de l'équation ^{y) = o sont distinctes, f [x)= o et o[x) — y =o n'ont qu'une racine commune qu'on pourra exprimer rationnellement au moyen des a, des a, [i, y... et de y (par la recherche du plus grand commun diviseur). Si plusieurs valeurs de y sont égales, la détermination de j- dépend d'une équation de degré supérieur au premier, mais inférieur à n. Ce procédé réussit pour les équations du troisième et du quatrième degrés.

Pour l'équation du cinquième degré

x^ + a^x'* -\- a.yX"' -\- a.^X' -f- a,^x -f- «5 = 0,

il faudrait poser d'après Tschirnhaus

y = a -{- 6a; + Y^'^ + ^^'^ + ^** et l'on obtient ainsi une équation transformée yt + 6^y* + 6^^3 ^ t,y^ 4. b^y + 6^ = 0.

L'idée de Tschirnhaus consistait à s'arranger de façon à avoir :

61 = 0, 62 = 0. bj=.0, bi = 0.

Mais l'on sait que la première de ces équations est du premier degré *, la deuxième du deuxième, la troisième du troisième et la quatrième du quatrième degré. L'équation qu'on en déduirait serait,

1. On sait que dans l'équation a" -|-a,a"—* + aja,"-2 -[-... -f- an :=o, a, est égal, au signe près, à la somme des racines, a, à la somme des produits des racines deux à deux. etc.

LA MKTHODb; HISTORICO-CHITIQUE 149

d'après un théorème connu, de degré égal au produit 1 X 2 X 3 X 4 = 24. On devrait résoudre une équation du vingt-quatrième degré. En résumé, la méthode de Tschirnhaus, telle qu'elle était conçue par son auteur, permettait de résoudre les équations de degré égal ou inférieur au quatrième, mais ne permettait pas la résolution d'équations complètes de degré supérieur. La transformation de Tschirnhaus n'en a pas moins un intérêt capital. Elle permet de mettre l'équation complète de degré n sous la forme normale (expression de M. Klein), c'est-à-dire sous la forme d'une équation où le terme de degré /i — 1 et le terme de degré n — 2 disparaissent. S'inspirant de la pensée de Tschirnhaus, Bring et Jerrard devaient réussir à mettre l'équation générale du cinquième degré sous la forme d'une équation à un paramètre (x'^ — x — A = o), ce qui, d'après les expressions d'Hermite : « constitue le pas le plus important que l'on ait fait dans la théorie algébrique des équations du cinquième degré depuis qu'Abcl a démontré qu'il était impossible de les résoudre par radicaux * w. Nous allons examiner maintenant la méthode de Lagrange. Nous avons rappelé déjà que le but de Lagrange était, en étudiant les procédés particuculiers employés par les mathématiciens qui avaient résolu les équations des quatre premiers