Lagrange, ibid

précédentes on pourra déduire les conditions nécessaires pour déterminer ces racines par une fonction de ces mêmes racines ; pour cela on remplacera la fonction y par la racine x dans les raisonnements précédents.

Appliquant ces résultats aux équations générales du troisième et du quatrième degrés, Lagrange va retrouver a priori la forme des fonctions résolvantes de ces équations, résolvantes qu'il avait construites a posteriori dans les deux premières parties de son mémoire par l'étude des méthodes employées par Tartaglia, Hudde, Ferrari, Descartes, etc. Bornons-nous à rappeler que la fonction résolvante de l'équation du troisième degré est, d'après la méthode de Lagrange :

t = x' -V 0.x" + a^aj'"

j:', a;", x'" étant les racines de l'équation donnée et a, a^ les racines cubiques imaginaires de l'équation a;^ = 1. Les permutations des racines sont au nombre de 1. 2. 3^6. Donc l'équation résolvante qui admet les t\ t", . . . l"^ pour racines devrait être du sixième degré. Le cube t^ de la fonction résolvante ne peut prendre que deux valeurs distinctes par les substitutions de x', x"^ x'" ; donc ce cube dépend d'une équation du second degré. On a donc une équation résolvante de degré inférieur au degré de l'équation donnée et le but est atteint. En ce qui concerne l'équation

du quatrième degré, on peut prendre comme fonction résolvante

que, pour maintenir Tanalogie avec le cas du troisième degré, l'on peut écrire

t = x' + OLX" -\- a-a;'" + (i^oî'v

a désignant la racine réelle — 1 de l'équation x'=i.

Cette dernière fonction résolvante peut prendre six valeurs distinctes par les permutations des racines, mais ces valeurs étant deux à deux égales et de signe contraire, l'équation résolvante s'abaisse au troisième degré.

Pouvait-on généraliser la méthode de Lagrange en employant une fonction résolvante

t = x' + ax" + n^x'" + + a" - » a-f») (5)

OÙ a est racine de l'équation x"= 1 ? Nous savons aujourd'hui que les équations complètes de degré supérieur au quatrième ne sont pas résolubles par radicaux ; la méthode de Lagrange est donc inapplicable pour le cas général. Mais la considération des fonctions résolvantes de Lagrange de la forme (5) devait être très féconde; elle devait, par exemple, permettre de résoudre cette classe importante d'équations d'ordre supérieur qu'on appelle équations cycliques^ sur les propriétés desquelles nous reviendrons plus tard.

D'une manière générale, comme on ne pouvait résoudre par radicaux les équations générales de degré supérieur au quatrième, on allait s'attaquer à des classes particulières d'équations, celles pour lesquelles il existe enlre les racines des relations particulières. Hudde, dans sa lettre De reductione œquationum, est probablement le premier qui ait envisagé le problème dans sa généralité. Il montre comment une équation peut être abaissée à un degré moindre lorsqu'il y a entre quelques-unes de ses racines une relation telle que leur somme, ou la somme de leurs produits deux à deux, ou, etc. , est nulle ou égale à une quantité donnée. Gauss et Abel devaient étudier au point de vue de leur résolubilité par radicaux les équations dont les racines sont liées par certaines relations particulières. Si nous suivions complètement la marche historique nous devrions, avant d'aborder la théorie de Galois, étudier les travaux de Gauss et d'Abel sur ces classes d'équations pour lesquelles il existe entre les racines des relations particulières ; nous devrions aussi rappeler les théorèmes de Gauchy sur les substitutions qui sont essentiels dans l'histoire de la théorie des groupes. Ces travaux sont tous antérieurs à l'œuvre de Galois. Mais l'étude des équations à relations particulières entre les racines se trouve remarquablement simplifiée par le travail de Galois; nous croyons donc plus simple de les envisager plus tard du point de vue de la

théorie des groupes. Nous allons maintenant, en nous servant de conceptions plus récentes, faire l'exposé critique des notions fondamentales nécessaires à l'intelligence de l'œuvre de Galois. Quelques-unes des notions que nous allons exposer dans le paragraphe suivant, ont été mises originairement en évidence par Galois lui-même. Mais, on sait que Galois est un génie abrupt ; il a fallu bien des commentaires pour saisir le sens profond de sa pensée. C'est pour cette raison que, pour faire l'exposition de ses idées principales, il nous a semblé que nous atteindrions plus rapidement notre but en ne suivant pas l'ordre historique, mais en exposant les notions fondamentales sous la forme que leur ont donnée les successeurs de Galois. Nous verrons ensuite dans un paragraphe postérieur comment on applique ces notions au problème particulier de la résolubilité des équations.