Voir p, lu

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dont les coefficients appartiennent à C ; il est réductible en G dans le cas contraire. Le polynôme f [x] irréductible en G peut devenir réductible dans un corps, plus étendu G' déduit de G par une adjonction. Un polynôme d'une variable peut toujours, par des adjonctions convenables, être décomposé en un produit de facteurs linéaires qui eux sont irréductibles.

Nous pouvons considérer aussi des fonctions de phisieiirs variables dans un corps G. Parmi ces fonctions il y en aura de réductibles et d'irréductibles. Mais ici se présente une circonstance nouvelle ; il existe, dans le cas de plusieurs variables, des fonctions de degré supérieur au premier et qui sont absolument indécomposables, par exemple la fonction x"- — ?/\ ou la fonction x"-\-y' -]- i.

Si au lieu d'une fonction / [x) , on considère une équation

l'équation sera dite équation contenue en G, si la fonction f[x) est une fonction contenue en G. Gette équation sera réductible ou irréductible suivant que f[x) est réductible ou irréductible. Si l'on adjoint à G une racine a de l'équation précédente, le nouveau corps G' est un corps algébrique supérieur à G . Ge corps se représente par G (a) . Tout élément de G (a) se déduit de a et des éléments de G, par les opérations fondamentales. Si (1)

est réductible, elle admet un diviseur irréductible

Si a est une racine de (2), /^ [x) étant de degré n, le corps C(a) est un corps algébrique de degré 7i. Les corps formés avec les autres racines de (2), C (a,), G (ao)-- ^^^^ ^^^ corps conjugués du corps C (a). Lorsqu'un corps est identique à tous ses conjugués, il s'appelle coi'ps normal ou corps de Galois. Les propriétés de ces corps sont très simples. « Et, remarque H. Weber, les grands progrès que l'algèbre doit à Galois proviennent essentiellement de ce fait que des corps quelconques peuvent se ramener à des corps normaux ^ »

Corps de nombres, adjonction, irréductibilité dans un corps, telles sont les premières notions fondamentales de l'algèbre, notions que nous avons déjà rencontrées à la base de l'arithmétique. Nous allons mettre en évidence maintenant une autre catégorie de notions élémentaires qui se rattachent au calcul combinatoire. Nous avons vu dans le premier paragraphe comment Lagrange avait été amené, à propos de la résolution des équations, t\ considérer tous les échanges que l'on pouvait faire entre les racines d'une équation, ce qui revenait dans le cas général à considérer toutes les permutations de ces racines