H. Weber. Lehrbuch der Alyebra, 1" édit,, I

entre elles. Pour passer d'une permutation à une autre permutation, on remplace les racines a: j,... x„ par les racines Xy ,... x^^^, /?i,..., />„ désignant une permutation de 1,2, ...., n ; le passage d'une permutation à une autre permutation s'appelle une substitution. Or, ces substitutions possèdent des caractères généraux qui les font rentrer dans la théorie des groupes d'opérations : le mot opération étant pris dans le sens le plus général. On sait qu'un ensemble d'opérations forme un groupe si le résultat de la composition (produit) de deux d'entre elles appartient à l'ensemble et si l'inverse d'une opération de l'ensemble y est également compris. La notion de groupe d'opérations est très générale, c'est un genre qui comprend de nombreuses espèces, par exemple : le groupe des transformations continues à un ou plusieurs paramètres de la forme x'i= fi (j^i, x.^,... a;„, a, b, c,) pour i = 1,2,... n, les /, étant des fonctions analytiques et indépendantes les unes des autres ; le groupe des substitutions linéaires, etc. Le groupe des transformations continues constitue l'objet de l'analyse, nous n'avons pas ici à nous en occuper. Mais le groupe des substitutions linéaires va nous intéresser particulièrement parce que, comme nous le montrerons plus tard, le groupe des permutations que nous avons rencontré dans la théorie de la résolution des équations algébriques est un cas particulier du groupe des substitutions linéaires. A

la notion de groupe d'opérations se trouve liée la notion également fondamentale de fonction invariante^ c'est-à-dire de fonction qui ne change pas par les opérations du groupe. Pour la construction des équations résolvantes, nous avons vu, dans la tliéorie de Lagrange, combien ces invariants étaient essentiels : ils vont jouer un rôle de plus en plus pré[)ondérant en ce sens qu'ils vont devenir les éléments caractéristiques des groupes.

Nous avons donc mis en évidence deux catégories de notions élémentaires, les notions proprement arithmétiques et celles qui se rattachent à ridée de groupes d'opérations, idée issue du calcul combinaloire (les premières substitutions linéaires que l'on ait étudiées étant les permutations). Or, Galois, dans la théorie de la résolubilité des équations, développant l'idée de Lagrange, a montré la liaison qui existe entre les notions arithmétiques et les notions combinatoires.

Sans entrer dans les détails de la doctrine, nous allons maintenant caractériser les notions fondamentales qui sont à la base de la théorie des groupes de substitutions.

La décomposition des groupes. — La notion de décomposition en éléments irréductibles, dont nous avons déjà signalé l'importance, s'applique également ici. Nous allons trouver des groupes simples et des groupes composés ; nous aurons une décomposition des groupes en facteurs. (Dans ce

qui va suivre nous aurons principalement affaire aux groupes finis, c'est-à-dire n'ayant qu'un nombre fini d'éléments).

Représentons le groupe P par la suite de ses éléments (les substitutions du groupe)

P = 1» i^u > TT/i— 1 ;

l'ordre du groupe est égal au nombre de ses substitutions, son degré est le nombre de ses lettres.

Soit

Q = i, 7tj, , rv 1

un système d'éléments contenus dans P ; si ce système forme un groupe, on dit qu'il est un diviseur ou un sous-groupe de P. Si v est l'ordre du sous-

groupe, n l'ordre du groupe P, - = e s'appelle V indice du sous-groupe par rapport au groupe. Si Q est un sous-groupe de P, on démontre que l'ordre de Q est un diviseur de l'ordre de P.

Nous savons que lorsqu'une fonction cp reste invariable par les opérations d'un groupe, on dit qu'elle est un invariant du groupe ou qu'elle appartient au groupe ; si elle varie par toute opération noncomprise dans le groupe elle est un invariant caractéristique du groupe. Or, si cp est un invariant caractéristique du diviseur Q, cp se transforme par les opérations de P en z — 1 fonctions cp^. Ces fonctions cpj, cp.>, cp,j s'appellent fonctions associées

de cp, les groupes auxquels elles appartiennent

LA MÉTHODE HlSTOUlCO-CUlTigUE 107

s'appellent ' des diviseurs conjugués de P. Si tous les diviseurs conjugués de P sont identiques, une opération quelconque u non comprise dans le sousgroupe Q et combinée avec Q donne un sous-groupe identique à Q ; alors Q est dit un sous-groupe invariant. Un groupe qui n'admet d'autre sousgroupe invariant que lui-même et le groupe identique (celui qui ne change rien) s'appelle un groupe siînple. Un groupe est composé lorsqu'il admet des sous-groupes invariants autres que lui-même. Un sous-groupe invariant tel qu'il n'existe pas de sous-groupe plus grand que lui s'appelle un sousgroupe maximum. Si Pj est un sous-groupe maximum de P, Po un sous-groupe maximum de Pj, etc., la suite des groupes

qui se termine par l'unité, s'appelle une suite de composition'' du groupe P. Nous désignerons p;ir 71, Uj^,... 1 les ordres des groupes de la suite (1) ( L

par V, Vj,... les quotients ,— ,..., c'est-à-dire les

indices de P^ par rapport à P, de P^ par rapport à Pj,etc.

La suite

s'appelle la suite des indices du groupe P. Les