Jordan, ibid., p

Les groupes qu'on ne peut partager en de pareils systèmes s'appellent groupes primitifs.

Donnons encore quelques définitions : Deux groupes sont dits holoédriquement isomorphes, lorsqu'on peut établir entre les éléments de l'un et les éléments de l'autre une correspondance univoque et réciproque telle qu'au produit de deux éléments quelconques d'un groupe corresponde le produit des deux éléments correspondants pris dans le même ordre de l'autre groupe. Deux groupes sont mériédriquement isomorphes^ lorsqu'à un élément du premier correspond un élément du second et qu'à un élément du second correspondent n éléments du premier.

Nous nous sommes placé jusqu'à présent au point de vue général. Nous allons maintenant caractériser brièvement des groupes particuliers qui vont jouer dans la théorie de la résolubilité des équations un rôle capital.

Groupe des permutations cycliques : soient les lettres «,, «,,...,«„; on obtient une permutation cyclique, si dans une disposition quelconque des indices

1, 2, 3 , n, on remplace chaque indice par le

suivant et le dernier par le premier : on recommence roj)éralion jusqu'à ce qu'on retrouve la disposition primitive. Le groupe composé des puissances * d'une permutation cycli(|ue s'apj)clle le groupe cyclique.

1. On appelle />«î.*(sfl«fe.s' d'une permutation les résultat? de la composition répétée d'une permutation avec elle-même.

Groupe abélien : si l'on suppose que les permutations d'un grouj)e vérifient la loi commutative

le groupe est dit abélien; le groupe cyclique est abélien.

Gi'oiipe métacij clique (appelé aussi groupe résoluble) : Un groupe de permutations P, tel qu'on puisse former une suite de composition (au sens indiqué plus haut)

chaque terme de cette suite étant un sous-groupe invariant d'indice premier du précédent, s'appelle groupe métacy clique.

Indiquons en terminant que le problème général de la théorie des groupes, qui consisterait à former tous les groupes de substitutions de n lettres, n'est pas résolu en général. Gayley a donné des résultats intéressants pour les degrés inférieurs*.