THÉORIE DE GALOIS CONCERNANT LA RÉSOLUBILITÉ DES ÉQUATIONS

Nous possédons maintenant les notions nécessaires pour aborder l'exposé élémentaire de la théorie de Galois.

1. Gayley, Mathemulical papers, II, '125 et Weber, loc. cit., II, 115.

LA MÉTHODE HISÏORIGO-GRITIQUE 171

D'une manière générale on peut dire que la théorie des groupes va éclairer les procédés de résolution des équations algébriques. La conception de Galois est la suivante : il définit un groupe de permutations des racines qui caractérise l'équation donnée; il définit de plus une certaine équation résolvante. Puis, utilisant la notion d'adjonction, il adjoint des quantités simples au corps C de l'équation dans lequel la résolvante est irréductible. Alors si la réduction est possible, la résolvante devra se décomposer et le degré du groupe devra être abaissé après l'adjonction. On adjoindra successivement des quantités jusqu'à ce que la résolvante soit ramenée au premier degré et que le groupe soit réduit au groupe identique ; l'équation donnée sera alors résolue. 11 nous suffit, tout d'abord, pour faire connaître les rouages principaux de la théorie de Galois, de caractériser ce que Galois appelle ^roz/pe de l'équation et résolvante de l'équation. Ce groupe et cette résolvante s'appellent le groupe de Galois et la résolvante de Galois.

Considérons une équation F [x) == o dont les coefficients appartiennent à un corps C, et soient x^, x,, oTg,... ses racines. Nous avons vu par les travaux de Lagrange qu'il fallait considérer dans la formation des équations résolvantes, les échanges entre les racines et les fonctions que ces échanges laissent invariables ; la proposition suivante que

nous donnons d'après le texte de Galois n'est plus faite pour nous surprendre.

Théorème ^ — Soit une équation donnée dont x^^ x^, x^,... sont les m racines. 11 y aura toujours un groupe de permutations des racines x^, x^^ x^, . . . qui jouira de la propriété suivante :

1° Que toute fonction des racines, invariable par les substitutions du groupe, soit rationnellement connue {est un élément du corps G de l'équation).

2" Réciproquement, que toute fonction des racines déterminable rationnellement soit invariable par les substitutions.

Le groupe ainsi déterminé est le groupe de l'équation ¥ {x)= 0. Dans le groupe symétrique (comprenant les 1.2.3... m permutations des m racines) les fonctions déterminables rationnellement sont les fonctions symétriques élémentaires : somme des racines, somme des produits deux à deux, etc.

Avant de définir la résolvante de Galois, définissons ce qu'on entend par équation normale. On appelle équation normale une équation irréductible dont les racines s'expriment rationnellement en fonction de l'une d'entre elles.

Une équation g [t) = o est une résolvante de Galois d'une équation donnée F {x) = o, quand elle possède les propriétés suivantes :

i° g{t) est irréductible ;