Galois, Œuvres, p

résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n'est invariable par aucune permutation. Cela posé, cherchons à quelles conditions doit satisfaire le groupe d'ime équation pour qu'il puisse s'abaisser ainsi par l'adjonction de quantités radicales... Considérons comme opérations distinctes l'extraction de chaque racine de degré premier. Adjoignona à Téquation le premier radical. . . après un certain nombre fini d'extractions de racines, le groupe devra se trouver diminué, sans quoi l'équation ne serait pas soluble... Supposons que par une extraction de racine de degré premier p, on diminue le groupe de l'équation... le groupe de l'équation devra se décomposer en p groupes jouissant les uns par rapport aux autres de cette double propriété :

1° Que l'on passe de l'un à l'autre par une seule et même substitution.

2" Que tous contiennent les mêmes substitutions {ces soîis-groupes sont des sous-groupes invariants). Je dis réciproquement que si le groupe de l'équation peut se partager en p groupes qui jouissent de cette double propriété, on pourra par une simple extraction de cette racine p'^""" et par l'adjonction de cette racine jt)'*""^ , réduire le groupe de l'équation à l'un de ces groupes partiels... » On poursuivra les adjonctions jusqu'à la résolution. On remarquera certainement que la notion de sousgroupe invariant que nous avons caractérisée dans

le dernier paragraphe joue dans les considérations de Galois un rôle essentiel. On peut résumer la doctrine de Galois concernant la résolubilité par radicaux sous la forme suivante :

Pour qu'une équation soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit qu'il existe une suite de groupes

dont le premier, P, est le groupe de Galois de l'équation, le dernier le groupe unité, et tels que chaque groupe soit un sous-groupe invariant d'indice premier de celui qui le précède immédiatement*.

Exemple de résolubilité. — Soit à résoudre l'équation complète du quatrième degré. Le groupe de l'équation comprend 1 .2.3,4 =24 permutations.

Adjoignons le radical ^D, D étant le discriminant de l'équation donnée, discriminant que Ton sait calculer. Par cette adjonction, ainsi qu'on peut le vérifier, le groupe primitif est réduit à un sousgroupe invariant de 12 permutations soit Pj ; ce sous-groupe étant d'ordre 12 est d'indice 2. Ce sous-groupe Pj admet un sous-groupe invariant Pg d'ordre 4 et par suite d'indice 3. Cherchons une fonction ^ qui appartienne au sous-groupe P^, l'adjonction de cette fonction réduira le sous-groupe P^ au sous-groupe P^ ; de plus, en vertu des principes généraux, cette fonction d» est racine d'une