Weber, Lekrbuch der Alyebra, 1, aUS

LA MÉTHODE HISTORICO-GRITloUE 177

équation résolvante du troisième degré (degré égal à l'indice 3 du groupe P^ par rapport au groupe P;). Ainsi Fadjonction d'un radical du troisième degré réduira le sous-groupe invariant Pj au sousgroupe invariant P^ de quatre permutations. Ce sous-groupe, à son tour, admet un sous-groupe invariant de deux permutations, P3, qui est d'indice 2 par rapport au précédent. Par l'adjonction d'une racine carrée, on réduit le sous-groupe P^ au sousgroupe P3; il faudra encore une racine carrée pour résoudre l'équation. On voit que les équations générales du quatrième degré admettent le critérium donné plus haut ce qui explique leur résolubilité par radicaux.

Exemple de non-7'ésolubililé. — Soit l'équation complète du cinquième degré. Ici l'on a affaire au groupe de permutations de cinq indices. Dans ce cas, le groupe alternant de degré 60 (dont les fonctions caractéi'istiques sont invariantes pour les permutations qui se décomposent en un nombre pair de transpositions) qui est le premier sous-groupe invariant, est si?nple, c'est-à-dire n'admet pas d'autre sousgroupe invariant que l'unité : le critérium de résolubilité n'est pas vérifié et, par suite, l'équation générale du cinquième degré n'est pas résoluble par radicaux ; il en serait de môme pour toute équation générale de degré supérieur au quatrième. Abel avait, antérieurement aux travaux de Galois, établi ce résultat dont l'importance est considérable;

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mais sa démonstration est longue, tandis que la démonstration du point de vue de Galois résulte immédiatement des principes généraux.

Nous devons encore donner quelques indications générales sur la manière dont M. Jordan, dans son Traité des substitutions \ a posé le problème de la résolubilité. Au lieu de résoudre Téquation donnée au moyen de radicaux, on cherchera à la résoudre par des racines d'équations abéliennes^ ce qui au fond revient au même, mais permet de simplifier le problème.

On dit qu'une équation est abélienne, lorsque chacune de ses racines s'exprime rationnellement en fonction de l'une quelconque d'entre elles, et si ces racines se formulant par

on a pour deux expressions quelconques de cette

suite

eHeK(a) = eKeH(a)

Une équation est dite cyclique, si son groupe se compose d'un seul cycle et de ses répétitions (voir le paragraphe II). Les équations cycliques sont un cas particulier des équations abéliennes. Les équations binômes sont des équations abéliennes. On démontre que toutes les équations abéliennes peuvent être résolues à l'aide d'une suite d'équations