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3. On appelle groupe linéaire le groupe formé par les substitutions de la forme (-, az -\- à).

pour lesquels nous renvoyons aux traités spéciaux. Nous avons, croyons-nous, suffisamment caractérisé les idées générales qui sont à la base de la théorie de Galois.

EXTENSION DE LA NOTION DE RÉSOLUBILITÉ : HERMITE, KRONEGKER, BRIOSCHI, GORDAN

Dans les travaux que nous avons étudiés jusqu'à présent, le problème de la résolution d'une équation algébrique consiste à chercher à exprimer ses racines par des radicaux, ou se ramène à un problème équivalent à celui-là. Or, nous avons vu que les algébristes avaient rencontré un obstacle insurmontable : la route était barrée. A partir du cinquième degré, on ne pouvait plus résoudre par radicaux les équations générales : on ne pouvait, au delà du quatrième degré, résoudre que des types particuliers d'équations, celles pour lesquelles il existe entre les racines des liaisons particulières. Par suite, on se trouvait devant l'alternative suivante : ou bien renoncer à aborder l'étude des équations algébriques générales d'ordre supérieur ou bien modifier le sens des mots résoudre l'équation. La science ne pouvait sans contredire sa loi propre, la loi du progrès, accepter la première branche de l'alternative.

Tout ce que l'on savait des racines de l'équatiou

générale du cinquième degré jusque vers l'année 1858, c'est qu'elles ne pouvaient se représenter par des radicaux, mais c'était là en somme une constatation négative. Ne pouvait-on chercher à savoir quelque chose de plus sur la forme et la nature de ces racines ? Il fallait évidemment pour cela avoir recours à des éléments analytiques nouveaux. Hermite, dans son mémoire de I808', a indiqué comment on pouvait sortir de l'impasse où l'algèbre semblait acculée. «On peut, ainsi que l'exemple en a été donné dans le troisième degré, chercher, en introduisant des variables auxiliaires, à obtenir les racines séparément exprimées par autant de fonctions distinctes et uniformes relatives à ces nouvelles variables".» Ainsi, résoudre l'équation consistera à séparer les racines, et à représenter ces racines par des fonctions uniformes exprimables par des séries convergentes qui permettront de les calculer.

Hermite a appliqué ces idées à l'équation du cinquième degré. Pour exposer sa théorie nous allons être obligé d'entrer dans des détails plus techniques ; aussi, le lecteur peu familiarisé avec la théorie des fonctions elliptiques, pourra passer les deux pages qui vont suivre ; nous venons de dégager le principe général qui domine les travaux d'Hermite, et la connaissance de ce principe peut suffire à la rigueur au lecteur philosophe.

i. Hermite, Œuvres, II, 5.