îi étant la racine quatrième du module de Tintégrale

/d.v , .-et V la racine quatrième du

module résultant de la transformation du cinquième ordre, rappelons que l'équation modulaire de Jacobi est : u'—v''-{-bu-v^ (li* — v^} 4- iuv (1 — i< Vj =0

LA MÉTHODE HISTOmCOCRITIQUE 183

de Irait d'union entre réqualion du cinquième degré et la théorie des fonctions elliptiques. Sans entrer dans les calculs, indiquons le principe de la méthode d'Hermite. Elle repose sur ce fait signalé par Galois que les équations modulaires, dans le cas où Tordre de la transformation n est égal à 5, 7 ou 11, sont susceptibles d'être abaissées d'un degré. Hermite construit la réduite du cinquième degré, correspondant à l'équation modulaire de Jacobi du sixième degré, par la considération d'une certaine fonction <ï> (t) '. La réduite du cinquième degré en O se ramène par une substitution convenable" à la forme de Bring-Jerrard

où cp (t) = ^'k; '} (t) = ^YT, K et K' étant le module et le complément du module de l'intégrale

J v/l — K- siu-cp T étant le rapport des périodes. Pour exprimer les

racines de l'équation

en fonction de <I>, on déterminera -f (t) par la condition

1. La fonction ^ = [v^-Vo) [v,-v,] [v.- l'a). les v étant racines de l'équation modulaire.