Pour préciser les idées, donnons d'après Hermite l'une

des cuiq fonctions représentatives soit : ,, ,^, ..,,^,, ■

y/ 2*5^ cp(T:)(|/ (X)

2. Comptes renihis de l'Académie des Sciences, \8^S, t. XLVI, et Klein, Vorlesungen ilber das Ikosaeder. p. 153.

o. Borchardt Journal, t. LIX, et Klein, loc. cit., p. 156.

une distinction que M. Klein reprendra. Il distingue dans les opérations de résolution deux parties, la partie algébrique, qui comprend les opérations algébriques ayant pour but de ramener l'équation générale au type normal, et la partie transcendante qui ne touche qu'au calcul des racines ; calcul qui se fait par les procédés analytiques. Les travaux de Brioschi et de Gordan \ quelle que soit leur valeur technique, ne nous paraissent pas, au point de vue des principes généraux, présenter un intérêt suffisant pour que nous nous efforcions d'en dégager ici les idées fondamentales.

INDICATIONS SUR LA THEORIE GENERALE DE LA RESO- LUTION DES ÉQUATIONS d'oRDRE SUPÉRIEUR *. TRA- VAUX DE M. JORDAN ET DE M. KLEIN.

Nous arrivons enfin à la théorie générale de la résolution des équations algébriques dont les principes fondamentaux ont été primitivement formulés par Lagrange et Galois. Cette théorie a été élargie ensuite, comme nous l'avons vu, au contact des théories analytiques (travaux d'Hermite et de

\. Il faut mentionner aussi les travaux de Betti sur les équations modulaires. Ce matlit-maticien semble être le premier qui ait publié une démonstration de la proposition de Galois sur la réduction du degré des équations modulaires, proposition rappelée plus haut.

186 LA PHILOSOPHIli DES MATHÉMATIQUES

Kronecker) puis systématisée et généralisée par M. Jordan et M. Klein. C'est sur la théorie des substitutions linéaires que la théorie de la résolution des équations est fondée. L'étude des substitutions linéaires constitue donc l'introduction nécessaire à la théorie générale des équations.

On sait qu'on entend par substitution linéaire de n variables un système d'équations qui expriment linéairement les variables y au moyen des variables x

î/j := a\x^ -j- ahx., + -\- a^Xn

y^ — alx^ + alx.^-^ .... -\- a^Xn (1)

y„ = a'îx^ + a'ix.^ -f- + a Xn.

Le nombre des variables constitue le nombre des dimensions de la substitution ; selon qu'il y a deu.\, trois, variables, la substitution est binaire, ternaire, Les propriétés générales de

ces substitutions font partie des éléments de l'algèbre ; nous les supposerons connues.

L'ensemble des substitutions linéaires de dimensions données forme un groupe. Nous avons déjà fait remarquer que les groupes de substitutions linéaires ont eu pour origine les groupes de permutations de lettres que nous avons déjà rencontrés au cours de celte étude. Ici s'applique cette loi du renversement que nous avons signalée antérieurement. La théorie générale des substitutions linéaires

est sortie historiquement des permutations, mais renversant l'ordre historique, on peut logiquement considérer les groupes de permutations comme un cas particulier des groupes de substitutions linéaires, le cas où le déterminant du système (1) est tel que dans chaque ligne et dans chaque colonne, il n'y ait qu'un terme différent de zéro et que ce terme soit l'unité. Puisque le groupe des permutations de n lettres n'est qu'un cas particulier des groupes de substitutions linéaires, c'est sur ces dernières que l'on devra chercher à fonder la théorie générale des équations. Nous devons faire connaître une autre forme des substitutions linéaires : les substitutions linéaires fractionnaires . Considérons la substitution binaire

et posons

nous aurons

lL = r^ et -r = ^

a% + ai

Les invariants des groupes vont jouer un rôle fondamental. Il est facile de montrer que pour un groupe fini (c'est-à-dire contenant un nombre fini de substitutions), il existe des formes invariantes. En effet, si o{x) représente une forme quelconque des variables et si A, B, C, , L sont les subsli-

tutions du groupe, une fonction symétrique $ de

cp[A (ic)], 'f [B(a:)], cp[L(^)], est évidemment

invariante pour les substitutions du groupe. On démontre en général, en s'appuyant sur une proposition de M. Hilbert ', que toute forme invariante peut être représentée au moyen d'un nombre fini d'invariants du groupe (base). 11 faudra donc chercher tout d'abord le système complet de ces formes invariantes

Fi, F., ,Fp

au moyen desquelles toutes les autres formes peuvent être représentées. Entre ces formes, il existera certaines identités qu'il faudra établir.

« Nous nous représenterons ^ maintenant les valeurs des F comme n'étant pas soumises à d'autres conditions qu'à vérifier ces identités. Chercher à calculer les variables ^r^ , x^,...,. a:„ au moyen des valeurs de ces formes, c'est formuler le problème des formes invariantes {For)nenproblem) qui correspond à notre groupe S'agit-il de résoudre

une équation de degré /i, f[x) = o [ce qui constitue le problème général de l'algèbre tel que nous l'avons énoncé au début de cette étude), nous pouvons poser le problème sous la forme d'un problème des formes [Formenproblem) pour les n variables a:,, x^,... a:„, qui sont les racines de l'équa-