Klein. Vorlesungen ïiber das Ikosaeder, p

tion donnée. Le groupe des substitutions linéaires correspondantes se compose simplement des permutations des X qui constituent le groupe de Galois de l'équation. Les formes F coïncident avec le système complet des fonctions entières des x, qui, au sens de la théorie de Galois, sont connues rationnellement. Ces remarques ne changent rien tout d'abord au contenu de la théorie des équations. Mais les propositions qui la constituent vont acquérir un ordre nouveau. » Les problèmes les plus simples sont ceux où les substitutions linéaires auxquelles on a affaire ont le plus petit nombre de variables. Réduire un problème au problème avec un nombre minimum de variables s'appelle d'après M. Klein le ramener au 'problème normal.

Par suite en classant les problèmes par ordre de simplicité, on rencontrera d'abord ceux qui se rapportent aux groupes de substitutions homogènes d'une dimension; ces substitutions sont delà forme

et comme elles doivent constituer un groupe fini de degré m., les a sont des racines m'^'"" de l'unité. Le groupe a un invariant absolu a"", et si la valeur de cet invariant est donnée, ofl obtient x par une extraction de racine ;?^''■"'^ Les équations binômes, de môme que les équations du deuxième, troisième et quatrième degrés, sont résolubles par des problèmes des formes {Formenproblem) à une dimen-

sien. L'équation du cinquième degré, comme l'a montré M. Klein, se ramène à un problème binaire. M. Klein a encore établi que pour les équations du septième degré, le problème des formes correspondant est un problème quaternaire.

Nous avons vu que la résolution d'une équation générale de degré n peut se ramener à un problème des formes kn dimensions. Alors on doit se demander si, pour les équations complètes de degré supérieur au septième, une réduction au problème normal, dans le sens où nous venons de le caractériser, est possible en général. H. Weber,dans la première édition de son algèbre (II, 177), estime qu'il faudra probablement donner une réponse négative à cette question. Depuis, un travail deWimann^ a précisé le problème, mais nous ne saurions entrer ici dans le détail de ces travaux d'un caractère trop technique. Gomme on le voit, la solution du problème de la résolution des équations, donnée par M. Klein, a un caractère général et philosophique ; une méthode générale en découle. Si l'on veut s'attaquer à la résolution d'une équation d'ordre supérieur, il faut d'abord chercher le groupe de substitutions linéaires avec un nombre minimum de variables — dans la mesure où cela est possible — qui soit isomorphe avec le groupe de Galois de l'équation ; il faut, ensuite, calculer les invariants du

1. H. Weber, Lehrbuch der Algebra, 2«. édition, II, 237 et Wimann, Gôttinger Nachrichten, 1897.

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groupe et exprimer les racines en fonction de ces invariants; les difficultés que le calculateur va rencontrer pour réaliser ce programme seront sérieuses, mais ce ne seront plus que des difficultés de calcul proprement dit ; nous savons sur quelles notions fondamentales repose la théorie de la résolution des équations alg-ébriques, nous savons qu'elle se rattache à la théorie des groupes de substitutions linéciires et des invariants de ces groupes. Et ce résultat au point de vue de l'enchaînement philosophique des idées est considérable.

Dans les pages qui précèdent nous avons rempli le programme que nous nous étions imposé, et qui consistait à exposer, dans leur enchaînement, les principes sur lesquels est fondée la théorie moderne des équations, et à montrer qu'elle était l'aboutissant d'une longue évolution.

Il n'est peut-être pas inutile, à titre d'application de la théorie de Klein, d'indiquer à grands traits sa méthode de résolution de l'équation du cinquième degré, tout en faisant cependant remarquer que la théorie de l'équation du cinquième degré n'a plus aujourd'hui qu'un intérêt historique ; son exposition nous donnera l'occasion de rappeler des notions intéressantes. D'une manière générale la méthode consiste en ceci : « on réduit l'équation du cinquième degré au problème de l'icosaèdre, ce qui constitue un cas particulier du problème général des formes, le nombre minimum des variables

étant alors deux ^ » Les groupes de substitutions linéaires auxquels nous allons avoir ici aiïaire sont les groupes binaires. Nous allons tout d'abord donner à leur sujet quelques indications.

Sous forme homogène ces substitutions sont x\ = a«j + ^x.y

En posant

on ramène, comme on sait, le système précédent aux substitutions fractionnaires :

Y.'C-fo

On peut déterminer tous les groupes finis de ces substitutions automorphes ; pour arriver à cette détermination, on introduit la notion de pôles. Les pôles sont les points qui se transforment en eux-mêmes par les substitutions d'un groupe, ou si l'on veut, qui sont égaux à leurs transformés. Si dans le groupe considéré il y a v opérations, y compris l'opération unité, qui changent le pôle en lui-même, le pôle est dit d'ordre v. On trouve finalement, en s'appuyant sur le nombre des pôles, qu'il n'y a pas d'autres groupes finis de substitutions automorphes que le groupe cyclique, le groupe du dièdre, le groupe du tétraèdre, le groupe de l'octaèdre, le groupe de l'icosaèdre. La