Klein. Vorlesungen ilber lias Ikosaeder, p. 36 el suiv

2. Lo cube ot l'octaèdre d'une part, le dodécaèdre el l'icosaèdre d'autre part ne donnent en ton! que dcii.\ grou|)es : le groupe de l'octaèdre et le groupe de l'icosaèdre; cela tient à des propriétés géométriques élémentaire.s : le cube et l'octaèdre de même que le dodécaèdre et l'icosaèdre étant liés de certaine façon .

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c'est pour celle raison que la réduction de Téqualion du cinquième degré à l'équation de l'icosaèdre est possible. Nous allons essayer de caractériser la marche générale que l'on suit dans cette réduclion. Conformément aux principes que nous avons exposés précédemment, on devra déterminer d'abord les invariants du groupe. Or, la considération des pôles va encore nous servir. Si n est le degré du groupe et v Tordre du pôle, on a

*( = va,

on montre qu'il existe un système de [x pôles (Tordre v : soient

ces pôles ; si l'on considère la fonction qui a ces pôles pour racines

et si l'on fait subir à cette fonction, après l'avoir multipliée par (y^'H-o)'', l'une des substitutions

a:= ^^, \- , elle ne sera modifiée qu'à un facteur

constant près : nous pourrons obtenir un invariant homogène. On trouve autant de telles formes invariantes qu'il y a de systèmes de pôles d'ordre déterminé. On sait qu'il y a trois systèmes de ce genre pour l'icosaèdre qui correspondent à des pôles d'ordre 5, 3, 2. Ces systèmes donneront chacun une forme invariante. Nous n'entrerons pas dans le

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détail du calcul qui permet d'obtenir ces formes ; rappelons seidoment que le premier système donne une forme que l'on représente par / et qui est du douzième degré (J) X 12 = 60)\. le deuxième système fournit une forme que l'on représente par H et qui est du vingtième degré (3 x 20 =^ 60) ; le troisième système enfin fournit une forme T du trentième degré (2x30 = 00). Entre les formes /, H, T, on démontre " Cju'il existe une relation

qui est du soixantième degré. Cette relation peut s'écrire encore

T- H* Or Tj et — sont invariants par rapport aux subs-

titutions du groupe. En considérant — comme fonction de.r='^. et en l'égalant à une quantité con-

nue c, on a

et par suite

T^ — [{-^% — zf=o (3)

équation du soixantième degré en j-, appelée équation de l'icosaèdre. Or, c'est cette équation que

•1. Pour le groupe de l'icosaèdre ?j = GO.

~. Klein, loc. cil., p. 57.

M, F. Klein considère comme la résolvante de l'équalion du cinquième deg-ré ramenée à la forme normale. Indiquons d'abord, sommairement, comment les racines de l'équation normale du cinquième degré se rattachent à l'une des racines de l'équation de Ficosaèdre.

Soit

>r + 'oy.'j- + o'^^u + T = ^ (4)

léqualion du cinquième degré mise sous la forme normale. Soient //^, //,, t/.^, fj. //. ses racines; il s'agit d'exprimer une de ces racines, soit //,^ au moyen d'une racine ./• de l'équation de Ficosaèdre supposée connue. Pour cela Klein introduit les fonctions' :

l2/'-/v , 12/-. Wv

«V = 77, et 'v = p

/, T, H étant les formes du grou[)e de l'icosaèdre que nous avons déjà rencontrées; t et W étant des formes analogues de degrés 6 et 8 du groupe du tétraèdre, diviseur du groupe de Ficosaèdre. Mettons l'une des racines y, de l'équation (4) sous la forme"

Il ne s'agira donc plus que de calculer m, n et 5 en fonctions rationnelles des quantités connues, c'est-à-dire des coefficients a, fj, y et du discriminant de l'équalion du cinquième degré. Alors la

\. Klein, Loc. cil., p. 18'J.