L QUESTIONS À UNE SEULE INCONNUE

Les problèmes dont les données ne se trouvent combinées que par addition ou soustraction, sont trop simples pour que nous croyions devoir nous y arrêter; il en est de même de ceux dont la solution ne dépend que d'une seule multiplication ou d'une seule division.

Les questions relatives aux proportions occupent une grande place dans les traités d'arithmétique, où l'on présente une seule et même chose sous les noms divers de règle de trois, règle d'intérêt, règle de société, règle d'escompte, etc. Toutes ces règles font la terreur des commençants et l'orgueil des adeptes. Cependant un seul raisonnement suffit pour résoudre toutes ces questions, un raisonnement si simple et si clair que l'enfant de sept ans se l'approprie à l'instant, un raisonnement si naturel à l'esprit humain qu'il est employé par le paysan qui

n'a jamais appris rarithmétique^ et qu'il lui suffit pour faire sûrement les calculs dont il a besoin^ tandis que ces mêmes calculs embarrasseront souvent des personnes qui, après avoir suivi des cours d'arithmétique^ ont oublié les diverses règles dont on avait chargé leur mémoire.

Le raisonnement dont nous voulons parler est connu sous le nom de réduction à l'unité. Il suffira de donner ici des exemples des diverses sortes de problèmes auxquels il s'applique; nos élèves étant familiarisés avec le calcul^des fractions, ne seront point embarrassés par des données ou par des résultats fractionnaires; si donc nous les évitons dans nos exemples, c'est uniquement pour abréger.

i«r problème : Sept aunes de drap ont coûté vingt et un francs^ combien coûteront neuf aunes de ce drap?

Solution. Une aune coûtera la septième partie de ce que coûtent sept aunes, donc la septième partie de vingt et un francs, ou trois francs; neuf aunes coûteront neuf fois autant qu'une aune^ c'est-à-dire neuf fois trois francs ou vingt-sept francs (règle de trois simple directe).

2« problème : Trois ouvriers ont fait un ouvrage en dix joursj combien faudrait-il de jours à cinq ouvriers pour le même ouvrage?

Solution, Un seul ouvrier pour faire cet ouvrage emploierait trois fois autant de temps que trois ouvriers^ c'est-à-dire trois fois dix jours ou trente jours; cinq ouvriers emploieront cinq fois moins de temps qu'un ouvrier, c'est-à-dire la cinquième partie du temps qu'y emploierait un ouvrier, soit la cinquième partie de trente jours, qui fait six jours (règle de trois simple inverse).

3« problème : On a payé soixante francs pour creuser un fossé qui a deux mètres de profondeur, trois mètres de largeur et cinq mètres de longueur; combien payerait-on pour un fossé de trois mètres de profondeur, de quatre mètres de largeur et de sept mètres de longueur?

Solution. Un fossé qui n'aurait qu'un mètre de profondeur

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au lieu de deux^ les autres dimensions restant les mêmes, cofihterait la moitié de ce qu'a coûté le premier, c'est-à-dire trente francs; un fossé d'un mètre de profondeur et d'un mètre de largeur, la longueur restant la même, coûterait la troisième partie du coût de celui qui a trois mètres de longueur, c'est^ à-dire la troisième partie de trente francs ou dix francs; enfin, un fossé d'un mètre de profondeur, d'un mètre de largeur et d'un mètre de longueur coûterait la cinquième partie du coût de celui qui aurait cinq mètres de longueur, c'est-à-dire la cin^ quième partie de dix francs ou deux francs. Un fossé d'un mètre de profondeur, d'un mètre de largeur, mais qui aurait sept mètres de longueur au lieu d'un, coûterait sept fois autant, c'est-à-dire sept fois deux francs ou quatorze francs, etc. (règle de trois composée).

4« problème : Trois personnes se réunissent pour une affaire de commerce; la première fournit deux mille francs, la se^ eonde trois mille francs et la troisième quatre mille francs; leur spéculation produit un bénéfice de mille deux cent vingtquatre francs; on demande comment cette somme doit être répartie entre les trois associés?

Solution, La somme des mises est de neuf mille francs; puisque neuf mille francs ont produit un bénéfice de mille deux cent vingt-quatre francs, mille francs en auront produit la neuvième partie qui fait cent trente-six francs. Le premier associé a fourni deux mille francs, donc il aura droit à deux fois le bénéfice produit par mille francs, c'est-à-dire à deux fois cent trente-six francs ou à deux cent soixante-douze francs; le second associé a fourni trois mille francs, il aura donc à retirer trois fois le bénéfice relatif à mille francs^ c'est-à-dire trois fois cent trente-six francs ou quatre cent et huit francs ; enfin le troisième associé, ayant fourni quatre mille francs, retirera quatre fois le bénéfice produit par mille francs, c'est-à-dire quatre fois cent trente-six francs ou cinq cent quarante-quatre francs (règle de société).

5« problème : Une fontaine a deux tuyaux dont l'un remplit

INTUITION DBS NOHBBES BT CALCUL DE TÊTE. S34

le bassin en deux heures et l'autre en tnûs beures; ce bassin a une fissure par laquelle il se vide en cinq heures; on demande en combien de temps le bassin sera rempli^ si Teau eOttle à la fois par les deux tuvaux et par la fissure ?

Solution. Le premier tuyau remplit le bassin en deux héureSj donc en une heure il remplira la moitié du bassin, le sch «ond tuyau le remplit en trois heures, donc en une heure il en remplira un tiers; les deux tuyaux coulant ensemble rempli- Tont donc en une heure une moitié plus un tiers du bassin, is'est-à-dire trois sixièmes plus deux sixièmes du bassin, ce qui fait cinq sixièmes du bassin. Mais la fissure qui viderait le bassin en cinq heures fait écouler en une heure un cinquième de Teau qu'il peut contenir; donc Teau coulant en môme temps par les deux tuyaux et par la fissure pendant une heure aura produit les cinq sixièmes du bassin moins un cinquième de ce Tolume d'eau. Or, cinq sixièmes font vingt-cinq trentièmes et un cinquième fait six trentièmes; cinq sixièmes moins un cin- <iuième font donc dix-neuf trentièmes.. Ainsi, au bout d'une heure, les dix-neuf trentièmes du bassin sont remplis; un trentième sera donc rempli en dix-neuf fois moins.de temps, o'està-dire en un dix-neuvième d'heure, et le bassin entier en trente fois autant de temps qu'un trentième du bassin, c'est-à-dire en trente fois un dix-neuvième d'heure, soit en trente dix-neuvièmes d'heure ou en une heure et onze dix-neuvièmes.

^ problème : Quatre-vingts francs valent quatre-vingt-une livres tournois, six livres tournois valent quatre livres suisses ; -on demande combien cinq francs valent de livres suisses?

Solution, Puisque six livres tournois valent quatre livres suisses, une livre tournois vaut la sixième partie de quatre livres suisses ou deux tiers de livres suisses; quatre-vingt^une livres tournois vaudront quatre->vingt-une fois deux tiers de livres suisses ou cinquante-quatre livres suisses; mais quatre vingt-une livres tournois équivalent aussi à quatre-vingts francs, donc quatre-vingts francs valent aussi cinquante-quatre livres suisses ; donc un franc vaut la quatre-vingtième partie de cin-

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quante-quatre livres suisses ou vingt-sept quarantièmes de livres suisses; donc cinq francs vaudront cinq fois autant^ c'est-à-dire cinq fois vingt-sept quarantièmes de livres suisses ; soit cent trente-cinq quarantièmes de livres suisses^ ou trois livres suisses et trois huitièmes ( règle conjointe^ règle de changes^ arbitrage).

7« problème : On demande quel est le nombre dont la moitié^ le quart et le cinquième réunis font quatre cent cinquante-six.

Solution. Cherchons d'abord quelle partie quatre cent cinquante-six est du nombre cherché : une moitié vaut dix vingtièmes^ un quart vaut cinq vingtièmes^ un cinquième vaut quatre vingtièmes; donc une moitié^ un quart et un cinquième réunis font dix-neuf vingtièmes; quatre cent cinquante-six est donc les dix-neuf vingtièmes du nombre cherché; un vingtième de ce nombre sera donc la dix-neuvième partie de quatre cent cinquante-six ou vingt-quatre^ et le nombre cherché sera vingt fois ce vingtième^ soit vingt fois vingt-quatre ou quatre cent quatre-vingts (règle de fausse position; exemple de Francœur, Cours complet de Mathématiques pures ^ Algèbre^ i«vol., p. 215.)

8« problème : Un père a quarante ans^ son fils en a douze; quand l'âge du père sera-t-il triple de celui du fils?

Solution. Il résulte des conditions du problème que la différence entre l'âge du père et celui du fils est de vingt-huit ans; cette différence reste toujours la même, et quand l'âge du père sera triple de celui du fils, cette différence sera deux fois l'âge du fils; ainsi à cette époque l'âge du fils sera la moitié de vingts huit ans ou quatorze ans et celui du père trois fois quatorze ans ou quarante-deux ans; c'est donc dans deux ans que l'âge du père sera triple de celui du fils (règle de double fausse position ; exemple de Francœur, Cours complet de Mathématique» pures, Algèbre, 1« vol., p. 216).

9« problème : Un marchand veut remplir un tonneau de cent litres avec deux espèces de vin , dont la première vaut vingt sous le litre et la seconde quinze sous le litre, de ma-

nière que ie mélange lui revienne à dix -huit sous le litre; on demande combien il emploiera de vin à vingt sous le litre.

Solution. Si le tonneau était plein de vin à quinze sous^ en en remplaçant un litre par un litre à vingt sous^ on augmenterait de cinq sous le prix de cent litres^ par conséquent on augmenterait le prix de chaque litre du centième de cinq sous ou d'un vingtième de sou. Ainsi chaque litre à vingt sous qu'on emploie/ rend le prix du litre de mélange d'un vingtième de sou plus élevé que quinze sous; or^ on veut que le litre de ce mélange vaille dix-huit sous^ c'est-à-dire trois sous de plus que quinze sous; donc autant de fois ces trois sous contiennent un vingtième de sou^ autant de fois il faudra employer un litre de vin à vingt sous; or trois sous valent soixante vingtièmes de sous, donc il faudra employer soixante litres du vin à vingt sous (règle d'alliage).

Les exemples qui précèdent suffisent sans doute pour faire voir tout le parti qu'on peut tirer de ce raisonnement si simple de la réduction à l'unité. Gomme pourtant il ne peut pas s'appliquer à tous les problèmes à une seule inconnue, il nous reste à indiquer la marche générale au moyen de laquelle notre élève pourra les résoudre tous de tête.

Elle consiste à supposer le problème résolu, puis à en déduire la relation qui existe entre l'inconnue et les données, relation qui exprime en même temps la suite d'opérations par laquelle on parvient au nombre cherché.

Comme on le voit, celte marche n'est autre chose que celle de l'algèbre, c'est-à-dire la mise en équation du problème et la résolution de l'équation; avec cette différence que notre élève raisonne toujours sur les conditions du problème, lesquelles restent présentes à son intelligence, tandis que l'algébriste se hâte de les remplacer par des signes qui l'occupent exclusivement jusqu'au moment où il parvient au résultat cherché. C'est pourquoi il est fort utile de faire résoudre ces problèmes à l'enfant avant de lui enseigner les signes algébriques. Ainsi l'on fortifiera son raisonnement, on entretiendra son goût pour

tH ÉDUCATION INTttiLlICTUBLLE.

le ealoul^ et lorsque le moment sera Tenu de Tinitier aux iiof»> iions de l'algèbre^ il les recevra avec joie, comme un bienfait^ comme un instrument commode qu'il s'empressera d'employer, sans toutefois cesser de voir sous le signe sa signifie»» tion, et de raisonner sur les données mômes des problèmes qui lui seront proposés. Quelques exemples sufiiront pour faire voir comment notre élève peut résoudre de tète tous les problèmes du premier degré à une seule inconnue.

i» exemple : Deux courriers partent en même temps, l'un de Paris pour Bordeaux, l'autre de Bordeaux pour Paris; le premier fait trois lieues et le second deux lieues par heure; la distance qui les' sépare est de cent cinquante lieues; on demande après combien d'heures ils se rencontreront.

Solutimi. Lorsque les courriers se rencontreront, le premier aura fait trois fois autant de lieues qu'il aura employé d'heures, et le second aura fait deux fois autant de lienes qu'il aura em* ployé d'heures; ils auront donc fait à eux deux cinq fois autant de lieues qu'il y a d'heures dans le nombre cherché; mais ils ont fait à eux deux toute la distance qui les séparait, c'est^*dire cent cinquante lieues ; cent cinquante est donc cinq fois le nombre des heures qu'ils ont employées; ce nombre est donc un cinquième de cent cinquante ou trente. C'est donc après trente heures de marche que les courriers se rencoil'» treront.

2« exemple : Une montre marque midi, on demande à quelle heure les deux aiguilles se rencontreront de nouveau.

Solution. La grande aiguille fait le tour du cadran pendant que la petite n'en fait qu'un douzième; ainsi lorsque les deux aiguilles se rencontreront la grande aiguille aura fait dôme fois le chemin de la petite; ainsi le tour du cadran augmenté du chemin parcouru par la petite aiguille est douze fois oe chemin; donc le tour du cadran est onze fois ce chemin, donc encore ce chemin est égal k un onzième du cadran. Ainsi, an moment où les deux aiguilles se rencontreront, la petite ai«guille aura parcouru un onzième du cadran; elle y aura em^

INTUITION D«S NOIIBBBS ET CALCUL DB TÊTE. |3ft

ployé un onzième de donze heures ou une heure et un ou-* zième. C'est donc à une heure et un onzième que les deux aiguilles se rencontreront.