II. QUBatlONS À PLUSIEURS INCONNUES

Cest encore par un moyen tout à fait semblable à celui qui s'emploie en algèbre que notre élève parviendra à résoudre de léle un problème à plusieurs inconnues. Il exécutera une véritable élimination ; mais en opérant sur les données mêmes du problème^ et non point seulement sur leurs signes représentatifs. Ce sera encore là un grand avantage pour le dévek)ppe« ment de son intelligence ^ car il ne pourra rien faire qu'il ne comprenne bien^ tandis qu'à l'aide des notations algébriques il est possible d'éliminer d'une manière mécanique et sans être guidé par autre chose que par une routine aveugle. Quand plus tard notre élève étudiera l'algèbre^ c'est-à-dire le calcul présenté d'une manière générale et indépendante de la valeur des données^ la théorie de l'élimination ne lui offrira aucune difficulté.

Pour montrer la marche à suivre^ nous traiterons quelques exemples très simples.

i^ exemple: Un père a vingt-cinq ans de plus que son fils; leurs deux âges ajoutés ensemble forment soixante et dix ans; on demande quel est l'âge de chacun d'eux.

Solution. Si à Tftge du fils on ajoute celui du père, on a soixante et dix ans; mais l'âge du père n'est autre chose que celui du fils augmenté de vingt-cinq ans; donc si à l'âge du fils on ajoute encore une fois l'âge du fils et vingt-cinq ans, on aura soixante et dix ans, c'est-à-dire qu'en prenant deux fois rage du fils et en ajoutant vingt-cinq ans, on a soixante et dix ans; donc en retranchant vingtr^inq ans de soixante et dix ans, on aura pour reste deux fois l'âge du fils. Si de soixante et dix ans nous retranchons vingt-cinq ans, il nous reste quarantecinq ans ; quarante-cinq ans sont donc deux fois l'âge du fib^

236 ÉDUCATION INTELLECTOELLB.

cet âge est donc la moitié de quarante-cinq ans^ ou vingt-deux ans et demi ; le père, ayant vingt-cinq ans de plus que son fils, aura donc vingt-cinq ans de plus que vingt-deux ans et demi, ce qui fait quarante-sept ans et demi.

2« exemple : Un homme a deux fils dont Tainé a six ans de plus que le cadet, l'âge du père surpasse de vingt-quatre ans celui de l'aîné, et l'âge du cadet est le quart de celui du père; on demande quel est l'âge de chacun d'eux.

Solution. L'âge du père est égal à l'âge de l'aîné augmenté de vingt-quatre ans, mais l'âge de l'aîné n'est autre chose que celui du cadet augmenté de six ans; donc l'âge du père est égal à celui du cadet augmenté de six ans et augmenté encore de vingt-quatre ans, c'est-à-dire à l'âge du cadet augmenté de trente ans. Mais d'un autre côté nous savons que l'âge du père est aussi égal à quatre fois l'âge du cadet; ainsi quatre fois l'âge du cadet est la même chose qu'une fois cet âge augmenté de trente ans; donc trente ans forment trois fois l'âge du cadet, donc cet âge est dix ans ; l'âge de l'aîné sera donc dix ans augmentés de six ans, ou seize ans; et l'âge du père sera seize ans augmentés de vingtrquatre ans, ou quarante ans.

Pour que les jeunes élèves puissent comprendre et traiter facilement toutes les questions de ce genre, il est nécessaire de suivre une marche bien graduée, de les exercer par des problèmes tout à fait simples avant de leur en proposer de plus compliqués, d'attendre qu'ils n'éprouvent aucune difiiculté à résoudre les questions à deux inconnues pour leur présenter celles qui en renferment trois, quatre, etc. On aura soin aussi de commencer par des exemples dans lesquels chaque condition du problème n'établit qu'une relation très simple entre les inconnues, afin qu'il soit facile à l'élève d'exprimer la valeur de l'une des inconnues au moyen des autres; car, en général, les modes d'élimination les plus faciles à suivre pour les enfants qui calculent de tète, sont celui par substitution que nous avons employé dans notre premier exemple, et celui par comparaison dont nous avons fait usage dans le second.

INTUITION DES FORMES, ÉLélf . DE GÉOM . , DESSIN LIN., PERSPECT. 237

Quant au mode d'élimination dit par addition ou soustraction^ il convient beaucoup moins que les deux autres pour le calcul de tête; il a quelque chose d'artificiel qui fait que le raisonnement de Tenfant ne l'y conduit pas directement. C'est pourquoi nous ne pourrions le conseiller que dans quelques cas particuliers.

Nous ne nous dissimulons point l'insuflSsance de l'exposé qui précède. Ceux de nos lecteurs qui^ restés étrangers au calcul de téte^ ne sont habitués qu'aux chiffres et aux notations algébriques^ trouveront peut-être la marche que nous indiquons trop difficile^ sinon impossible. Et cependant elle a reçu la sanction de l'expérience ; elle est encore journellement employée dans plusieurs institutions de la Suisse et de l'AUemagne. Pour persuader tous les lecteurs^ nous aurions dû expliquer avec détail tous les degrés de chaque série d'exercices^ c'est-à-dire traiter presque toutes les questions qui doivent entrer dans le cours ^ ce qui aurait suffi à remplir un gros volume.