R" = 1000 X LV

4"* Du travail à produire par les freins, pour maintenir le véhicule sur les pentes d'une inclinaison supérieure à celle correspondant au coefficient de frottement en palier et en alignement droit, soit r. (]es pentes dans la direction de A sont P et P". Le travail à produire par les freins sur ces deux pentes sera * :

Soit (fig. 2 bis) le proGI ci-dessous et une voiture se dirigeant dans la direction A.

La pente P est supérieure au coefficient de frottement r.

Le travail à produire par tonne, pour aller de C en D, sera :

ip-}- r)l;

Fiff. 2 bis.

puisqu'il n'y aura pas d'effort de traction sur la D pente P.

Ecrivons, comme nous l'avons dit, que le travail total est égal :

1° A la résistance en palier et alignement droit sur la ligne entière ;

2" A la différence de niveau // ;

5' Du travail dû aux démarrages, en supposant que ces démarrages sont au nombre de n. La formule précédemment indiquée Dous donne :

Riv z= n X Slv*

Le travail total à produire sera la somme de tous ces travaux partiels et sera :

SR = 1000[Lr+Ly + (A^ — A) + (P — r) T + (P"— r)/'^] + 51nt>«

Si maintenant, comme il arrive toujours pour les lignes de tramways, la voiture revient à son point de départ, le travail à produire pour ce retour sera en opérant de la môme manière :

s R' = 1000 [Lr + LV — {h^ — h) + (P" — r) /«"] + 51 n' v«

n étant le nombre des arrêts au retour.

Le travail total, aller et retour par tonne, sera donc la somme (le ces deux valeurs ou :

R=1000[2Lr + 2Ly+(P — r)^-}-(P"— r)/»^ + (P' — r)/'"] + (n+n')51v* (1)

et le travail par kilomètre voiture sera :

Cette formule est générale et pourra s'appliquer à tous les cas Je la pratique.

iNous en ferons l'application à deux cas ; l'un, celui d'une ligner à

3* Au IraTail négatif sur la p^nte P égal à (P — r) ; nous aurons :

T = r (/+/')+/* + (P — »-) ^' ; h = pi —PI';

d'où

T = w + w + pz — pr + pr — rV ;

coaime dans la formule (1).

Cette méthode qui introduit dans le calcul le travail restitué par les freins dans 'es pentes, au lieu du travail moteur dans les rampes, n'aurait pas d'avantage dans le cas simple que nous avons pris comme exemple ; mais lorsque le proûl se compose d'un nomîbre considérable de pentes et de rampes, on a seulement à considérer les pentes, dans le sens de la marchOt qui sont supérieures au coefficient de frottement et le calcul est très simplifié.

inclinaisons et courbes modérées ; Tautre, celui d'une ligne à fortes inclinaisons et nombreuses courbes de faible rayon.

Premier cas (flg. 3)

2L'=: 1000 n + n' =: H r' = 10 kg.

Appliquant la formule (1) il vient :

+ 14 X 51 X 4» = 242 924 kgm.

Nous supposons que la vitesse de marche entre les arrêts est de 4 m, par seconde ou 14,4 kil. à l'heure.

Le travail moyen par kilomètre sera donc par tonne de :

242924 \l = 17352 kgm. ;

d'où Teffort moyen par mètre sera :

= 17,35 kg.

L'effort moyen en palier et alignement droit étant de 13,50, kg. l'augmentation due aux efforts supplémentaires sera :

17,35 kg. — 13,50 kg. = 3,85 kg. par tonne,

ce qui correspond bien au chiffre que nous avons donné précédemment pour les lignes à incHnaisons modérées.

Deuxième cas (fig. 2)

r' = 10 kg.

Appliquant la formule (4) il vient (fig. 2) :

R = 1000 [24000 X 0,0135 + 6000 x 0,010 + (0,030 — 0,0135) 1500 + (0,050 — 0,0135) X 4000 + (0,040 — 0,0135) 3000] + 24 x 51 X 3» = 645 266 kgm.

Nous supposons que la vitesse de la marche entre les arrêts est de 3 m. par seconde, soit 10,8 kil. à l'heure. Le travail moyen par kilomètre est donc :

^^=26884 kgm;

d'où l'effort moyen par mètre sera :

= 26,89 kgm;

soit une augmentation de 26,89 kg. — 13,50 kg. = 13,39 kg.

L'effort moyen a doublé ; ceci montre l'influence des efforts supplémentaires résultant des lignes où les inclinaisons sont fortes et les courbes nombreuses.

Nous le répétons, l'augmentation d'effort de 4 kg. que nous avons donné plus haut ne s'applique qu'aux lignes à rampes modérées et à courbes de faible rayon peu nombreuses. C'est, du reste, le cas le plus fréquent dans les tramways urbains.

Nous venons d'indiquer le moyen de calculer soit approximativement, soit exactement la résistance moyenne, par tonne à la jcaite des roues ^ d'un tramway pour un parcours donné, mais il faut aussi connaître le travail maximum à produire lorsque la voiture aura à franchir le passage le plus difficile de la ligne, c'està-dire la rampe maximum. Nous allons indiquer la formule qui donne ce travail :

Travail maximum.

Soit : Voiture Voilure

automotrice. de remorque.

Résistance en palier et en alignement droit. r rj

Résistance due à la rampe fx \l

Vitesse en mètre par seconde v v

Le travail maximum par seconde sur cette rampe sera par tonne, à la jante des roues :

T = «000 (r + fji) t; + 1000 (n + fi) v = 1000 [{i\ + ^i) + (r + \l)] v.

iO LA TRACTION MECANIQUE DES TRAMWAYS

A ce travail maximum, il faut ajouter celui dû au démarrage, cas (jui peut se présenter, par suite d'un arrêt forcé sur la rampe maximum.

En se reportant à la formule donnée précédemment, ce travail supplémentaire par seconde est :

Comme on le voit, ce travail est en raison inverse du temps / nécessaire pour obtenir la vitesse de marche v, ce qui d'ailleurs est évident.

Lorsqu'on se donne le temps ^ au bout duquel la vitesse de marche v doit être obtenue, il est facile d'obtenir soit l'accélération g nécessaire pour obtenir cette vitesse t\ soit l'espace parcouru au bout de ce temps /, par les formules connues :

La fornmle précédente donne le travail moyen par seconde, mais non le travail maximum qui est celui qui nous intéresse. Pour l'obtenir reprenons la formule :

qui représente le travail à produire pour passer de la vitesse v' à la vitesse v.

Soit : V la vitesse à atteindre au bout du temps T.

L'accélération g sera : g = y • Or on sait que v = gt;

Reportant cette valeur dans (1) il vient :

Cette formule nous donne le travail en kilogrammètres à produire dans Tespace de / — /', que nous pourrons prendre égal à une seconde.

Le travail résistant dû à la marche en alignement droit et à la rampe entre les deux vitesses v et v' sera :

T'=(r+,)(iL^). (3)

Remplaçant v et v' parleur valeur donnée plus haut, il vient :

Le travail maximum à produire au moment du démarrage sera la somme de ces deux quantités, fournies par les formules (2) et (3).

Comme exemple, soit un démarrage extrêmement rapide à produire en palier; on veut obtenir la vitesse de 4 m. en 5".

Le travail dû au démarrage sera pendant la dernière seconde de :

T = 51 :^ (? -Ti») z= 293,76 kgm.

Le travail dû à la marche en alignement droit sera :

T' = ■- (-4-^) *3,5 = 48,60 kgm.

Le travail total à produire sera donc :

293,76 4- 48,60 = 342,36 kgm. par tonne et par seconde.

Le travail dû au démarrage sera :

= 6,04 fois plus grand que le travail de remorque

Prenons un second exemple : un démarrrage en rampe de r»0 mm, et supposons qu'on veuille obtenir en 20 secondes une vitesse finale de 2 m. par seconde.

Nous aurons :

T = 51 X Jrr (20* —T9*) = 19,89 kgm.

T = ^^i^Lii^ (13,5 + 50) = 123,83 kgm.

Le travail total à produire sera par tonne et par seconde :

19,89 + 123,83 = 143,72 kgm.

Le travail dû au démarrage sera : ' = 0,16 du travail de remorque.

En nous reportant à la formule donnée pour le travail maximum en rampe, on verra que la résistance totale est : P étant le poids de la voiture automotrice, p — — de remorque,

En appelant c le coefficient d'adhérence sur les rails qu'on peut admettre en général, comme égal à-=- , soit 0,14, il faudra pour éviter le patinage que :

P'c > R. > P (r + jx) + [r, +\i)p;

V étant le poids adhérent de la voiture automotrice, qui peut ôtre le poids total de cette voiture, ou partie seulement de ce poids.