XI
et la formule (X), pour m = i , a = o,
(XII) 2(,)-/(v)= i/(o)-H./"|i^
En adoptant les notations du n° 27, on pourra écrire la formule (3) sous la forme suivante :
«rP*" "" *^«rP
la fonction /{z) étant toujours supposée holomorphe à l'intérieur du contour G. Substituons respectivement dans les deux intégrales
g—îlLIZiZ
(lV-»-l)7U*Z| ,
gWZ Q-lUZ J^ qTUz Q-'Kiz*
nous obtenons une' formule qui nous sera utile plus loin :
<20) 2^""'^''-^^^^^*27 /(•^)C0S(2V-i-l)lîTÛ?X-f-Ru.,
avec
Dans le cas où la fonction y(^), tout en étant uniforme et en vérifiant les autres conditions indiquées ci-dessus, présente dans la bande B, définie par l'inégalité a<^':<< P, un nombre fini de points singulier^, distincts des points m, m 4- i ? • . ., /î, on doit
6i$ CHAPITRE III.
dans les formules précédentes retrancher du second membre le terme ^ -^^(/(^))i comme le montre Tégalité (3).
33. Notes historiques. — L'histoire des formules sommatoires que nous venons d'établir est des plus intéressantes, et montre clairement avec quelle difficulté les idées générales se sont fait jour dans l'Analyse. Nous publierons ici les données que nous avons pu recueillir sur ce sujet, sans avoir d'ailleurs la prétention d,'être complet.
C'est la formule (VI), page 62, qui a attiré d*abord l'attention des géomètres. Elle a été donnée en 1820 par Plana, dans un Mémoire intitulé : Siu^ une nouvelle expression analytique des nombres bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la sommation des suites (Memorie délia Accademia di Torino, t. XXV, p. 4o3-4i8). Gomme l'indique le titre de son Mémoire, Plana avait établi cette formule, aussi remarquable par sa simplicité que par sa généralité, en partant de la formule sommatoire d'Ëuler, donc par un calcul purement formel.
Trois ans plus tard, Abel est de son côté arrivé à cette formule très remarquable, en suivant identiquement la même voie que Plana. Voir la Note : Solution de quelques problèmes à l'aide d^ intégrales définies {Œuvres complètes d'Abel, édition Sylow-Lie, 1. 1, p. 1 1-27), où se trouve aussi (p. 27) la formule (XII) du n* 34. Dans une deuxième Note de
l'année 1826 : L'intégrale finie ^ ç(^) exprimée par une intégrale
définie simple {ibid., p. 34-39), Abel a donné diverses généralisations et une nouvelle démonstration de la formule (VI), mais cette démonstration n'est pas plus rigoureuse que la première.
Seule la théorie des fonctions d'une variable complexe pouvait servir de fondement aux formules qui nous occupent, et, en effet, c'est Gauchv qui, sans connaître les travaux de Plana et d'Abel, a donné le premier une démonstration parfaitement exacte des formules (I) et (III), dans son Mémoire sur les développements .des fonctions en séries périodiques, lu à l'Académie le 27 février 1826 (Mémoires de l'Institut, t. VI, p. 6o3-6i2), Mémoire dont nous aurons à nous occuper ultérieurement. La démonstra- ^^ tion de Gauchy, fondée sur la théorie des intégrales singulières, et qui est, à un certain point de vue, la plus simple qu'on puisse donner, fournit immédiatement ces formules sous leur forme générale; mais cependant Gauchy les a établies uniquement pour le cas où la somme figurant au premier membre se réduit à un seul terme.
Il restait donc encore une lacune à combler, et c'est ce qu'a fait Sghaab dans un travail intitulé : Mémoires sur les intégrales eulériennes et sur la convergence d'une certaine classe de séries (Mémoires couronnés el Mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie de Belgiqu/e^ t. XXII, 1848, p. 3-25), travail qui aurait bien mérité de ne pas ilioanibeir dans l'oubli.
11 en est de même du Mémoire de Genocchi : Sulla formula sommatories di Eulero et sulla teorica dei residui quadratici (Annali di Scienze matematiche et Jisiche, t. III, i852, p. 4o6-436), qui renferme des applications importantes dont nous parlerons plus loin, ainsi que d'un second Mémoire du même auteur : Intorno ad alcune form^ule sommatorie (ibid., t. VI, i855, p. 70-114), où sont précisées les conditions dans lesquelles sont applicables les formules de Cauchy et Schaar.
Citons aussi deux Mémoires de moindre importance, mais ayant rapport au même sujet, par Tortolini : Sopra gli intégrait à differenze Jinite espressi per intégrait definitt {Annali di Scienze mat, et fis., t. IV, i853), et par Mainardi : Intorno ad una equazione di Poisson {ibid.),
A partir de cette époque, il semble que les formules en question soient restées à peu près inaperçues des géomètres, jusqu'en 1889, date à laquelle Kronegker est revenu sur le sujet dans son Mémoire : Bemerkungen ûber die Darstellung von Reihen durch Intégrale {Journal de Crelle, 1. 105, p. 345-354), en prenant pour point de départ les Mémoires d'Abel, et sans connaître ni celui de Cauchy, ni ceux de Schaar et de Genocchi.
De son côté, M. Petersen a donné une démonstration et diverses applications de la formule d'Abel, dans ses Vorlesungen ûber Funktionstheorie (Copenhague, 1898). D'autres applications des formules sommatoires ont été données par Hermite et par MM. Mellin, Jensen et H. Weber, dans des Mémoires que nous citerons ultérieurement.
Ayant de notre côté retrouvé les formules données ci-dessus, nous en avons développé de nombreuses conséquences dans un Mémoire intitulé : Quelques applications d'une formule sommatoire générale (Acta Societatis Scientiarum Fennicœ, t. XXXI, n° 3, 1902), dont un extrait a été publié dans le Tome XXVII des Acta Mathematica, et auquel nous avons beaucoup emprunté dans cet ouvrage.
H. — Quelques applications des formules précédentes.
36. Comme première application, faisons dans la formule (III) f{z) =z logZj d'où il résulte, d'après la seconde des égalités (12),
q{z, t) = arc tang-«
En prenant /w = i , nous trouvons ainsi
dt
log(i.2 n)= (/i-h - j log/i — w-hi — 2 / arc tang^
oe
arc tang -
dt
On a d'autre pari, par la formule de Slirlîng, (i) log(i.2 n)= ( /iH — ) log/i — w -+- log/Tïî -H e(n),
e(/i) tendant vers zéro lorsque n croît indéfiniment, et, comme le dernier terme de l'égalité précédente jouit de la même propriété, on en déduit
(•2) '""V ®''^^^"*'''^wir7 = '^oV^-
Soit, en second lieu, y(^)=-> d'où gr(T, ^) = ^ — -^* et
appliquons encore la formule (IH). On aura, en faisant tendre n vers l'infini.
lîm
7 ïoff /i I = \osm -^ ^ I — — -r^T
Pour /w = I , le premier membre est, par définition, égal à la constante d^Euler; en la désignant par C, on aura donc
expression due à Poisson (*). D'autre part, en ajoutant aux deux
membres de l'éealité ci-dessus la somme i H h • • • H *
on en déduit la formule, avantageuse pour le calcul de C : r. I I I 1 r"^ t dt
G = IH h... H 1 log/?H-'2 / ■ , . ^, -;pr7 •
Les applications qui précèdent avaient été données déjà par Plana et Abel, dans les Mémoires cités page 68.
