Soit encore à calculer l'intégrale

a étant une constante dont la partie réelle est positive et inférieure à un, et cd(z) une fonction rationnelle, s'annulant à l'infini et holomorphe à l'origine et sur l'axe réel positif.

Traçons de l'origine comme centre un cercle c de rayon e et ua autre cercle C de rayon R, de telle sorte qu'ils comprennent entre eux tous les pôles de o(^), et désignons par S le contour fermé qui se compose de ces cercles et des deux bords d'une coupure menée suivant l'axe réel positif. On aura

la somme F s'étendant à tous les pôles de ^{z).

Faisons maintenant tendre e vers zéro et R vers l'infini. Les parties de l'intégrale ci-dessus qui sont relatives aux cercles c et C, tendront vers zéro, en vertu de nos hypothèses. Comme d'ailleurs z*^~^ = e<«-*)*08^ et que logz augmente de 27c/ lorsqu'on passe d'un point du bord supérieur au point correspondant du bord inférieur de la coupure, le premier membre de l'égalité précédente deviendra

(i — e*^*«) / z'^-^(f{z)dz^

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 5l

et, par suite, on trouve pour l'intégrale donnée l'expression Pour ©(2) = i on obtient la formule, due à Euler :

dz = ---e1l/Ca-l)=

Q i-\-z I — gîTi/a sinira

En différentiant l'égalité (i3) n fois par rapport à la constante a^ on trouve la valeur de l'intégrale

/ z^-^(\ogz)^(f{z)dz.

D'autre part, si 'f{z) admet le point à l'infini comme zéro d'un ordre ^ 2, les résultats précédents seront valables pour a == i + e, dès que o < e < 1 , et, en faisant tendre e vers zéro, on en déduit les formules

et

y" <P (* ) ( log ^ )« rfz = n m^D^"' j 7éî4re «£ ^n ? ( ^ » j .

On trouverait, par exemple.

(1214' dz = lim D^'- /^^\ = ?

l. — Recherches de Cauchy, Transformations diverses

des formules générales,

26. Le calcul des résidus permet d'exprimer par une intégrale définie la somme des valeurs que prend une fonction analytique f{z) pour des valeurs entières successives de la variable z. En effet, on a vu (p. 89) que la fonction tzcoItzz admet tout nombre entier v comme pôle simple de résidu un^ et il en résulte que la valeur /"(v) est égale au résidu de l'expression tzcoI'uiz f{z) relatif au point z = v, pourvu que f(z)j soit holomorphe. Traçons donc un contour fermé simple C enveloppant les points m, m-|-i , ..., n, mais laissant à l'extérieur tout autre point dont l'affixe est un nombre entier, et supposons que, à l'intérieur de ce contour, la fonction f(z) soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers, distincts des points m, m -h i , ..., ai, en étant d'ailleurs holomorphe sur C. Dans ces conditions, on conclut du théorème général des résidus, en utilisant la notation qui a été expliquée page 38,

(i) — ^. I Tzconzzf(z)dz =2\f{^)^ f TZCOiTZZ[f{z)),

d'où

(2) • ^^f{^)— -^^ j '^^OlTZZf{z)dz— ^ 'JtCOt7C^(/(3)).

Si, en particulier, la fonction y(^) est holomorphe à l'intérieur de G, le dernier terme de cette égalité disparaîtra.

En observant que le résidu de la fonction -: relatif au pôle

z = y est égal à ( — i)^, on arrive de même à la formule

(3) y(i)v/(v) = L f-ji—f{z)dz — y ^-^i(/(z)),

les hypothèses restant les mêmes que ci-dessus.

Les formules qu'on vient d'écrire conduisent facilement à la sommation de certaines séries particulières, renfermant un nombre infini de termes ( ^ ).

Soit, par exemple, f{z) une fonction rationnelle ouméromorphe, telle que le résidu intégral de l'expression tzcoItzz f{z) s'annule (^voir\e n" 17). En prenant pour le contour C un cercle ayant l'origine comme centre et en faisant croître indéfiniment le rayon de ce cercle par des valeurs convenablement choisies, l'intégrale (i) tendra vers zéro, de sorte que l'égalité (2) deviendra

-4-ao

(4) ^f{^)=-- ^'^(^ol7zz[f{z)).

Si le résidu intégral de l'expression -. f{z) se réduit à zéro,

on déduit de même de l'égalité (3) la formule

On suppose, bien entendu, que les séries qui figurent dans les égalités (4) et (5) soient convergentes et que leurs termes soient réunis en groupes comme l'indique l'égalité (2), page 3o.

restent au-dessous d'une

Comme les modules Icotu:?! et

limite finie sur les cercles 1 2 1 = v — ^ j '"^ = ' 1 2, ... {voir la note de la page 82), on peut conclure des résultats établis au n** 17 que les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées toutes les fois que f{z) est une fonction rationnelle admettant le point à l'infini

(*) Cf. Œuvres de Cauchy, série II. t. VII, 1827, p. 345-362.

54 GHAPITRK III.

comme zéro d'un ordre ^2. Dans ce cas, les séries (4) et (5) seront d'ailleurs absolument convergentes.

Si f{z) est une fonction rationnelle ayant s = x» comme zéro

simple, on pourra l'écrire sous la forme f{z) = — h o(^), A étant

une constante et ^{z) une fonction rationnelle admettant ^ = 00 comme zéro d'un ordre ^2. Comme les résidus intégraux des

expressions '■ — et — : se réduisent à zéro, puisque leurs

termes se détruisent deux à deux, il en sera de même, d'après ce que nous venons de dire, des résidus intégraux des expressions

TzcolTtz f{z) et -: /(^) ^^'i ps^r suite, les formules (4) et (5)

seront encore applicables, en réunissant toutefois, dans la série (4 )> les termes correspondant à des valeurs égales et de signes contraires de l'indice v.

L'égalité (4) nous donne, en faisant par exemple /(^)= -j>

(a: -»- v)2 si n^ 7137

et, pour/(z)=^-^,

2 1 I I p TT

La formule (5) reste valable si l'on pose f(^z)=i '^{z)su\az ou f{z) = ^(z) cosaZj '^{z) étant une fonction rationnelle s'annulant à l'infini et a une constante réelle comprise entre — 7t et 7t. En effet, en remplaçant les fonctions trigonométriques par des exponentielles, on constate aisément (Cf, la note p. 82), que les expressions

si n a ^

et

cosaz

sinir-s

sinTT^

restent au-dessous d'une limite finie sur les cercles

et, d'autre part, que ces mêmes expressions tendent uniformément

vers zéro lorsque le point z^ pe'^ tend vers l'infini en restant intérieur à l'un des angles s^^^it-^^s, Tt+e^'i^^-re — e, € étant un nombre positif aussi petit que l'on voudra. Comme le module |5cp(5)|, par hypothèse, reste inférieur à une quantité finie à partir d'une certaine valeur de js,', ces mêmes remarques seront applicables au produit de Fune quelconque des expressions

^(z)s'inaz et — ^(z)cosaz

sinii^ • sinir^

par le facteur 5, et, d'après le n° 17, les résidus intégraux de ces expressions se réduiront donc à zéro, ce qui justifie notre assertion. On aura par suite, sous les conditions énoncées.

(-i)^[?(v)-o(-v)]sinva = — 7t^^j^^^(?(«)),

dO

On trouve, par exemple, pour '^(z) = — — — »

"^ V sinva __ it sinaa?

cosva I 7c cosaa?

r^ — V* '207* 'IX siniTiT

Dans certains cas, les formules (4) et (5) permettent de transformer une série donnée en une autre dont la convergence est plus

rapide. Ainsi, en faisant dans (5) f{^z^ = —— z^^' ^ étant une

constante réelle quelconque, Cauchj en déduit l'égalité

2(ov 1 = ! Ly(«,)v 1

Pour les petites valeurs numériques de a, la convergence du second membre est évidemment très rapide, tandis que le premier membre converge lentement.

27. Nous allons maintenant transformer les formules générales

établies au début de ce Chapitre, en commençant par la formule (2). Pour simplifier, nous supposerons d'abord la fonction y(^) holomorphe à l'intérieur du contour C, de sorte que le second membre de cette formule se réduit à son premier terme.

Soient a et p les points où C est coupé par l'axe réel

(6) m — i < a < m, /i<p<n-hi,

et désignons par ay'P la partie supérieure et par ay''^ la partie inférieure de ce contour. Nous laissant guider par cette observation

que -rcotii^ tend vers — i dans la direction de l'axe imaginaire

positif et vers H- 1 dans la direction opposée, nous substituerons, dans le second membre de la formule (2),

et

-rCOtTT^ = — I -—. sur l'arc a y' 3

-cot7rz= iH — r-^ sur Tare ay* 3.

Par ces substitutions, l'expression en question devient

-/ f(z)dz-- J(z)dz-^ ^! -^ / %^,, ■

Or on a, en posant 5 = t H- «V, (7) r /{z)dz = -f f(z)dz= f /{z)dz,

puisqu'on suppose la fonction /( 2) holomorphe à l'intérieur de G; la formule (2) prendra donc la forme suivante :

^/■/ .j , f fi^)dz , r f(z)dz

Prenons, en particulier, pour le contour C un rectangle symétrique par rapport à l'axe réel et dont les côtés verticaux passent respectivement par les points z = ql et z = p. En désignant par 2 ô la hauteur de ce rectangle, la formule (8) deviendra

FORMULES SOMMATOIRBS TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 5y

en posant, pour abréger,

R(8)= f^ f{^^i^)dz ^ r^ f{z-a)dz

La formule (9) se simplifie dans le cas où sont vérifiées les conditions suivantes :

I** La fonction f{z) est holomorphe pour a^T^p, quel que soit t]

2" U égalité

(A) liin e-*«i'i/(TH-tV) =

a lieu uniformément pour a^T^ p.

En effet, dans ces conditions, la formule (9) reste valable quelque grand que soit S et, lorsque 8 croît indéfiniment, R (8) tendra vers zéro, de sorte qu'on obtient

(I) y/(v)=r /(T)rf'u^ Hm[I(a,8)-I(p,8)].

Resserrons davantage les hypothèses en supposant que :

1° La fonction fi^z) est holomorphe pour T^a, quelque soit t\ 2° La condition (A) est vérifiée uniformément pour aS^S^, quelque grand que soit P;

3** La fonction f(^z) est assujettie à la' condition

(B) lim / e-2iïi^"|/(T-htOI^' = o.

T=oo J^

La formule (I) subsistera quelque grand que soit /i, et comme l'on a, en posant ^ = n -\ — > ^ = ^ -|- «7,

I i(p, S) I < jT"" ^ {iti^'v ' "^' <jr"^-'"'" i/(p + '0 1 dû

on voit que l'intégrale I(P, oo) a un sens et qu'elle tend vers zéro lorsque n ou ^ augmente indéfiniment, de sorte que la formule en question deviendra

«-'•- /(z)dz , r''-''f{z)dz

II) 2/(v)=X /(^)--X ^s^-X —

si la série qui figure au premier membre est convergente, et, si cette série diverge,

lim I y/(v)- f /(z)d^ (II)„ ." = -1^ ^»

*"^'" f{z)dz , C'^-'" fiz)dz

28. Nous introduirons dès maintenant certaines notations dont nous aurons à faire un usage continuel dans la suite de cet ouvrage. En écrivant toujours 5 = 7+ it^ nous poserons

d'où

(II

et, d'autre part,

de sorte que /?(t, ^) et «^(t, t) représentent respectivement les parties réelle et imaginaire de la fonction ^(t + tV), dans le cas où celle-ci est réelle pour / = o.

Avec ces notations, le premier terme de l'expression I(t, S)

s'écrit

FORHULEb SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 59

et comme le second terme se déduit du premier efn changeant i en — /, il en résulte

i('u,a) = -2 f Q{'z,t)dt,

où

(i3) Q(t, t)=p(z, /)X(T, n-^-qi-z, t)W{z, 0.

On pourra donc écrire les égalités (1) et(II) sous la forme

(D y/(v)=r /(t)Jt-2 r"[Q(a,0-Q(^0]^^

(II') y/(v)= r /(x)rfx--2 r q(t,t)dt.

Dans le cas où l'on a

OL =: m ou K = /IH 9

ces formules se simplifient, en vertu de l'égalité

(14) Q(vH-i,A=i(l^tii),

qui a lieu pour tout nombre entier v.

" 29. Les formules qu'on vient d'établir supposent essentiellement les nombres a et ^ compris entre les limites (6), et doivent être modifiées si l'une de ces limites est atteinte.

Faisons d'abord tendre a vers //? — i , et cherchons la modification qui en résultera pour la formule (9). Pour simplifier le calcul, nous allons reprendre un moment l'égalité (8), en choisissant le contour d'intégration comme l'indique la figure ci-dessous, où les arcs c' et d^ font partie d'un cercle décrit du point m — i comme centre avec le rayon e, et où l'on a

OL = m — I -i- £, a' = m — i -f- le, b' = m — i -f- ï §, a'' =: rn — 1 — ts, b" ^= m —a — / 8.

Le contour C étant ainsi choisi, on doit d'abord substituer m — ï à a dans le terme R(8) de l'égalité (9), et, d'autre part, les deux

intégrales qui figurent dans l'expression I(a, 8) doivent être prises respectivement le long du chemin aa'è' (composé de l'arc d et du segment rectiligne a' 6') et le long du chemin symétrique ^d' b" . La somme des intégrales relatives aux segments a' b' et afb"

Fig. 2.

s'écrit, en posant z = m — i -h iV, et en utilisant la notation (12),

dt.

Sur l'arc c' on a

fi^)

g—i'JZlZ i

iTzi z — {m — i)

le module de ^{z) restant au-dessous d'une limite finie lorsque e décroît vers zéro. Il en résulte que l'intégrale prise le long de cet arc et qui s'écrit, en posant z — {m — i) = e e^"^^

TZ

TT

tend vers — ~7f{^~~^) lorsque e s'annule, et un raisonnement

identique montre qu'il en est de même de l'intégrale prise sur l'arc c" , Donc la somme de ces deux intégrales aura pour limite

On voit, en somme, en choisissant le contour d'intégration comme il a été dit et en faisant ensuite tendre e vers zéro, que

(' ) Il importe d'observer, en vue d'applications ultérieures, que ce résultat repose sur la seule hypothèse que la fonction f{z) prend une valeur finie et déterminée au point z = m — i ( qu'elle y soit holomorphe ou non), de telle sorte que la

différence f{z) — f{m — i) tende uniformément vers zéro avec e pour ^<]/ =~"*

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 6l

l'égalité (9) subsiste encore pour a = m — i , à condition de poser

I(m — 1,8)= /{tti — i) — 2 /

2 Jq

dt.

En modifiant le contour comme l'indique la ligne marquée dans la figure en pointillé, et en faisant ensuite s'évanouir le rayon du demi-cercle, on conclut de même que l'égalité en question subsiste aussi pour a = m, si l'on pose

Des remarques analogues s'appliquent à l'expression I(P, 8), lorsque le nombre ^ tend vers l'une ou l'autre des deux limites entre lesquelles il est compris.

Les résultats qui précèdent permettent de modifier de différentes manières les formules établies aux n"* 27 et 28.

Ainsi, en faisant dans l'égalité (9) a = m, ^ = /^, S = 00, on en déduit la formule

(iii)

^jrAx)^.-.j;" ^^--;i-^/"'^> .,

qui subsiste lorsque les deux premières conditions de la page 57 sont vérifiées pour a = m, ^ =z n.

Si les trois dernières conditions de la page 5^ sont remplies pour a = m, on pourra faire croître indéfiniment le nombre n dans la formule précédente, et l'on trouve alors

(IV) ^n.) = inm,^[n.u.-.j'^-s^^.

Dans le cas où lesdites conditions se trouvent vérifiées pour

0L=^ m — I , on aura aussi

(V) y^A^) =- rJ{m-x)+ r f{z)dz-i f

~ m. — 1 ^^ II

dt,

formule qui rjeste encore valable dans le cas où/(z) présente au point z = m — i le caractère indiqué dans la note de la page 60. Si la série qui figure au premier membre des deux dernières formules était divergetite, on devrait les remplacer par d'autres analogues à (11)^.

30. Appliquons à la fonction /(jr-j- 5) la formule (9) en posant m = n = o^ et faisons tendre a vers o, ^ vers i et 8 vers 00, ce qui est permis si l'on suppose les deux premières conditions de la page 57 vérifiées pour Xi^i^Xi-i- i, Xs désignant la partie réelle de X. En tenant compte des résultats établis au n° 29, on trouvera

f /(^x -\- 'z) d'z = f f{^) ^^f il en résulte que la fonction

(VI) ^i^)=-lf(x)+J^f(.v)dx + 'xJ'i^LÎl±

(en supposant, bien entendu, que la dernière intégrale ait un sens, ce qui ne résulte pas nécessairement des conditions de la page 57, et en fixant convenablement la limite inférieure de la première intégrale) jouit de la propriété

En d'autres termes, ^(x) est ce qu'on appelait autrefois l'intégrale ^nie de la fonction f{x)^ et qu'on désignait par 51/(^)-

31. Voici une autre transformation de la formule (8) qui nous sera utile plus loin. En y substituant

\ =e2iï*2 ^e4w•2 +. . . . 4. ^sfiTt/z ^ ^ ,

1 e-2UL7tZ3

et en remarquant qu'on a, pour chaque indice v,

I e^^'^i-f{z)dz^ I e-^'f'^i^ f(z) dz = '1 f /(t) cosavin: rfx,

puisque la fonction f{z) est, par hypothèse, holomorphe à l'intérieur du contour C, on trouve d'abord

>,/(^)= / /('^)^'^-»-2 > / f('z) COSIWTZzd'Z (l6) (m * 1 '*

Supposons maintenant la condition

lim e-s^f^-^i'^i'i/C-c -h î'O = o

vérifiée uniformément pour a ^ t £ ^ et la fonction f{^z) holomorphe dans la bande correspondante.

En choisissant pour le contour C le même rectangle que page 56, et en faisant croître 8 indéfiniment, on trouve alors que les parties des deux dernières intégrales ci-dessus qui sont relatives aux côtés horizontaux de ce rectangle tendent vers zéro, de sorte que la formule (i6) se simplifie.

Admettons, en particulier, que les conditions énoncées tout à l'heure soient remplies pour o^t^/? ; remplaçons dans l'égalité (i6) n par n — i et m par l'unité, faisons tendre a vers o, ^ vers n et 8 vers 00, et ajoutons aux deux membres le terme /"(o). En suivant fidèlement la méthode exposée au n" 29, nous trouvons ainsi la formule dont nous aurons bientôt à faire usage :

32. Nous avons établi les formules des n<" 27-31 en supposant

la fonction f{z) holomorphe en tout point de la région limitée par le contour d'intégration. Mais il est facile de voir comment se modifient ces formules dans le cas où /(z), tout en restant uniforme dans cette région, y possède un nombre fini de points singuliers.

Pour fixer les idées, supposons que la fonction /(z) présente ce caractère dans la bande B, définie par les inégalités a <[ t <[ P, et cherchons comment se modifie la formule ([). Pour arriver à un résultat simple et précis, nous admettrons qu'aucun des points singuliers de /{z) compris dans B n'est situé sur l'axe réel.

Reprenons alors la formule (2), en choisissant le contour C comme à la page 56, mais en prenant 8 assez grand pour que les points singuliers dont il s'agit soient tous intérieurs à ce contour.

Dans l'hypothèse actuelle, on doit d'abord tenir compte du

dernier terme de la formule (2), qui s'écrit — P tz cotiz z[/{z)],

ce qui constitue une première modification du raisonnement donné au n" 27; d'autre part, les égalités (n) devront maintenant être remplacées par les suivantes :

f f{z)dz= f /(z)dz-^2'Kir [f(z)l

Bi et B2 désignant respectivement les moitiés supérieure et inférieure de la bande B. Le reste de notre raisonnement ne subit aucune modification, et nous arrivons donc à cette conclusion que, dans ^hypothèse admise ci-dessus, on doit retrancher du second membre de la form,ule (I) [^expression

^ 7rcotirz(/(^)) + 7u.-j r (/(^))-/ [f{z)]l

laquelle, à l'aide des substitutions indiquées au début du n*' 27^ peut encore être mise sous la forme

Les autres formules subiront des modifications analogues.

33. Voici une dernière transformation de la formule (2) qui s'opère immédiatement, et dont nous aurons à tirer parti plus loin. Supposons de nouveau la fonction f{z) holomorphe sur C et à l'intérieur de ce contour. Il en sera alors de même de sa fonction intégrale F(g), et, en intégrant par parties, on pourra donc écrire la formule dont il s'agit sous la forme

2/(^> = ïiii(inrby^(^)''-

Admettons, en particulier, que les trois dernières conditions de la page 67 soient vérifiées pour la fonction F(>3), et choisissons le contour C comme au n" 27. En observant que le module de sin-n^

se comporte asymptotiquement comme l'expression -<»^l^' sur toute

droite parallèle à l'axe imaginaire, on s'assure qu'il est permis de faire tendre successivement et /i vers l'infini, dans l'égalité cidessus, et Ton obtient ainsi la formule

<vni) 2;/(»=-i^-jr,.^ (iî^y^^^)''^'

a étant un nombre quelconque compris entre m — i et m,

34. Passons à la formule ( 3 ) et indiquons-en rapidement quelques transformations, analogues à celles que nous avons fait subir plus haut à la formule (2).

Admettons que la fonction f{z) est holomorphe dans la bande a ^ t ^ ^ et que V égalité

(A,) lim e-T^U^ f {1 -\- it) = o

a lieu uniformément pour x^'z^p.

En choisissant le contour C comme au n** 27, la formule (3) est alors applicable quel que soit 5, et devient pour S = 00 :

(IX) / m

= L, lim / -^JL^f(z)dz^ ..JL^f(^z)dz\.

Sî l'on pose d'où

et d'autre part, en se servant toujours de la notation (12), page 58, (18) . Qi(t,0=/>(^,OXi(t,o + ^('^, O^iC*^, 0,

on pourra écrire (IX) sous la forme

(IX') ^{-iyf{^) = ^J [Qi(P,0-Qi(«,0]'/<-

Resserrons les hypothèses, en supposant que les conditions énoncées ci-dessus sont vérifiées quelque grand que soit p, et que la fonction f{z) est assujettie à lacondition

(B,) lim / tf-«i'J|/(xH-tO|rfr = o.

On pourra alors faire croître indéfiniment le nombre n dans les formules ci-dessus, et l'on trouve ainsi

tn

Lorsque a = m — - ou ^ = n-\- -» les formules précédentes prennent un aspect plus simple, à cause de la relation

D'autres modifications de ces formules s'obtiennent en faisant coïncider a ou p avec l'une des limites (6). Ainsi la formule (IX)

devient, pour a = m, jS == /?,