Faisons maintenant dans nos formulesy(^) = e~*^^, d'où

;p(t, <) = ^-^^ cosir^, ^(x, ^) = — e-^ûuxt.

Ceci est permis si l'on suppose x réel et positif, car les conditions de la page 5- sont alors vérifiées quels que soient a et p.

(*) Mémoires de l'Institut de France, Année i8ii, seconde Partie, p. 228.

Appliquons d'abord la formule (V), page 6i , avec m = i ; il vient ,,. I I I /•• slnxt .

égalité due à Legendre. En développant le dernier terme suivant les puissances de x^ et en comparant le résultat avec l'égalité (5), page 32, on en déduit pour les nombres de BernouUi l'expression

qui, sous une forme différente, avait été donnée déjà par Euler. C'est précisément en partant de cette expression que Plana et Abel avaient établi leur formule sommatoire.

La formule (II'), page Sq, nous donne, en faisant m = i, o <; a < 1 7 et en multipliant les deux membres par ^«^,

—— = — *" ^ / ^(oL^t)s\nxtdt — 2 I X(ct, t)cosxtdt.

En remplaçant dans cette égalité a et ^ respectivement par œ et ^, et en développant ensuite le second membre suivant les puissances ascendantes de z^ on en déduit, par comparaison avec l'égalité (9), page 33, pour les polynômes ©v(^) les expressions (*)

I' ^^f^(x) =(-i)^^^k f* t^f^-iW(x, t)dt (A: = 1,2, ...),

9,it+i(a?) = (— i)*-^H4A:-t-2) / t^^X(x,t)dt (Â: = o,i,2, ...)•

Il est facile de voir que ces expressions représentent des fonctions analytiques holomorphes de x dans la bande comprise entre l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point ;r = i . Comme nous avons démontré les égalités (6) pour o < ^ < i ? il

--(*) Lorsqu'on substitue, dans les formules (6), aux expressions W(a:, t) et X{x, t) leurs développements

^•(a;, t) =^e-^^^<cos2VTca?, X(a?, t) = V e-^*«*sin2vira:, 1 1

qui se déduisent immédiatement de Tégalité (10), page 58, on retrouve les for mules (11) et (i3) du n» 18.

en résulte, d'après le principe fondamental du prolongement analytique, qu'elles sont vérifiées pour tout point de cette bande.

Comme les seconds membres des égalités (6) sont des fonctions périodiques de x de période i, nous pouvons affirmer d'autre part qu'ils se confondent, pour les valeurs réelles de x^ avec les fonctions désignées plus haut par Ô2a(^), ^2k+%{^) {voir p. 34)-

Passons aux formules du n® 34. En faisant dans la formule (X)

m = I , a = -> multipliant les deux membres par e*, et remplaçant X par 2/5, on en déduit

sécz = 9. I : 7- dt.

Développons le second membre suivant les puissances de z et comparons le résultat à l'égalité (-j), page 33 ; il viendra ( ' )

<2A dt

Pour une valeur quelconque de a comprise entre o et i , la même formule (X) nous donne, en multipliant par e"-^,

-=ij Xi(a, <) cosa?^ û?/ — il Wi{ciy t)sinxt dt^

et la comparaison de cette égalité avec l'égalité (19), page 36, conduit aux expressions suivantes des polynômes yy{x) :

dt

Les égalités (8) sont valables dans la même bande que les égalités (6) et, pour les valeurs réelles de x^ leurs seconds membres se confondent avec les fonctions périodiques yjk(^)j X2^+*(^)' définies page 37. Elles mettent d'ailleurs en évidence que, dans

(*) Cette expression est due à Catalan {Mémoires de la Société des Sciences de Liège, série II, t. XII, p. iio).

l'intervalle o<;^<^i, le polynôme X2*(^) garde un signe invariable, à savoir celui de ( — i)*, et que X^^+i (•^) ^'j admet pas

d'autre zéro que x = - ( * ) .

38, En terminant ces applications, qu'il serait d'ailleurs facile de multiplier, nous ferons voir comment se déduisent de nos formules générales les propriétés des sommes

que Gauss a le premier introduites dans l'Analyse. Les nombres n et p sont des entiers positifs sans diviseur commun dont l'un est pair et l'autre impair (2).

A cet effet, reportons-nous aux résultats établis au n® 31 ; en

pizi - — a*

faisant f(z) = e" , on aura les deux égalités :

. pTZi / tplZ 2p1Z \

Cette dernière égalité montre que l'expression

e-tpiil/|/(x-ht7)

tend uniformément vers zéro pour o^t^/i — s, quelque petit que soit e, lorsque t tend vers dz 00, et que, d'autre part, le module de celte expression reste inférieur ou égal à l'unité pour o^t£/i, quel que soit /. Il en résulte que, si l'on fait dans l'égalité (16), page 63, \f- = p — i, a = o, jâ = /î, les intégrales prises le long des côtés horizontaux du contour G s'annuleront lorsque 3 croît indéfiniment, de sorte qu'on pourra appliquer la formule (VII) en posant

(*) On attribue généralemeot les formules (6) à Raabe et les formules (8) à llermite. Mais en fait ces formules se trouvent dans le' Mémoire de Gauchy de Tannée i8i4 {Œuvres, série I, t. I, p. 458-46o) et, au dire de Gauchy, elles se déduisent de divers résultats trouvés par Euler.

(^) Si n et p sont tous deux impairs, la somme (9) est évidemment égale à 1.

Y-^= p — 1 . Comme on a d'ailleurs y(o, /) = o et/(o) — y(/i) = o, on trouve ainsi pour la somme (9) l'expression

où F^(z) = e " cos2V7r5. Écrivons

f Fy(z)dl= f Fv(x)tfx— r Fv(T)rfT.

D'après l'égalité (3), page 4^, on aura, pour v = o, i , ...,/> — i ,

jrFv(x)rfx=-^/^eT-.\

et, d'autre part, on conclut facilement de l'inégalité

(II) |Fv(T + iOl<e"~^''''~'"^ (^>o),

qui se vérifie immédiatement, qu'on pourra écrire

f"Fy,{'z)d-z = i f*Fy{n-h it) dt = - f" e~~^ ^'"^^^ (e»v7c/ ^ e-îvn/) dt.

En effet, le théorème fondamental de Cauchy nous donne, en désignant par n' et 8 des nombres positifs dont n''^ n^

Fv(t)c?t = f / Fv(n-hi/)c?^+ / F^{i:^ih)d-z — i f Fy{n'-hit)dty */0 *^n *^0

et comme l'on a /?t — v/i > o pour t^ n, v ayant l'une quelconque des valeurs 0,1,...,/? — i , il résulte de l'inégalité (i i) que, lorsqu'on fait tendre d'abord S et ensuite n' vers l'infini, les deux derniers termes du second membre s'évanouiront successivement, de sorte qu'on obtiendra bien l'égalité voulue.

Par conséquent la somme des deux premiers termes de l'expression (10) peut se mettre sous la forme

v/ia-i'-^^-j-r- -""(^'s^)*'

FORMULES SOMMATOIRES TIRÉES DU CALCUL DES RESIDUS. jS

de sorte que l'expression elle-même devient

e " dt.