X -hl-h'z
développement qui converge uniformément dans toute aire finie n'ayant aucun point commun avec l'axe réel négatif.
En remplaçant dans ce développement sin2V'7CT par des exponentielles et en utilisant la notation
on arrive, après des réductions faciles, à cette nouvelle expression
/t = se MÊm '2 VTç L
qui a été donnée par M. Landsberg dans le Mémoire cité page g/j.
LES FONCTIONS T{x), ^{s)j Ç(5, tv). 97
ment, par extension, série de Stirling, se déduit de la formule (6) en y développant l'intégrale J(^) suivant les puissances descendantes de X.
En se servant de l'expression (4') et de l'égalité (5), page 71 , on trouve
avec
On arrive au même développement en intégrant par parties l'expression (20), par des calculs parfaitement analogues à ceux de la page 81, mais le reste ih{x) se présente alors sous la forme
Développons maintenant le reste J(^, i) de la formule (i3) suivant les puissances descendantes de x^ et, à cet effet, utilisons d'abord l'expression (1 4). En observant que les égalités (6) (p. 71), en vertu des relations (12) (p. 94), peuvent s'écrire
on trouve immédiatement avec
En intégrant par parties l'expression (17) (voir le n'* 41) on retrouve le développement (4) avec cette nouvelle expression du reste :
Le développement de J(:r, Ç) a été donné par Hermite et Sonin(«).
PourÇ= -y on déduit de la formule (i3), en y remplaçant
J(x,^) par le développement (4) et en tenant compte des égalités (17) (p. 36),
avec
OU encore
Ra
Ce développement est dû à Gauss, à l'expression du reste près.
48. Proposons-nous maintenant d'évaluer une limite supérieure du reste Ja(^) de la série de Stirling et, à cet effet, partons d'al)ord de l'expression (3). Pour abréger, nous désignerons par Tv le terme général de la série en question :
Tv = (-i)
Bv I
de sorte que le terme qui précède immédiatement Ja(j7) s'écrit Ty;. Supposons d'abord x réel et positif. Comme l'expression
P2A+2('c) * le signe de ( — i)*+* {cf. p. 36), on voit que ik{x) est de même signe que le terme Tk^^ , et comme d'ailleurs
et que ik-\.\{x) et T^^^ sont de signes contraires, on en conclut que Ja(^) €st numériquement inférieur à T^+i.
Soit maintenant x = re^^, l'argument étant compris entre — it
(') Journal de C relie, Tomes 115 et 116.
LES FONCTIONS F (a:), Ç(5), Ç(5, w).
et 7c. On aura
I a? -f- T I* = r2 M- 2 /'T ces 6-+-T*=(r-i-T)2 — /irz sin* - 9
et, par suite, pour t >- o, en remarquant que 4^"^ = (a* + t:)^,
I a? -t- T I* ^ ( r -}- T )* ces* - •
Il en résulte, d'après (3), que le module de 3k{x) est inférieur à
/■|-ï?£?i^.*-(-îr'«">''
et, en tenant compte du résultat démontré ci-dessus, on trouve donc finalement l'inégalité due à Stieltjes :
(A \ 2A'-4-2 sécj |T;t+il (-'ir<Ô<7r).
On peut atteindre des résultats plus précis en partant de l'expression (2), ce que nous ferons voir aussi brièvement que possible.
Lorsque t croît de o à 00, le point dont l'affixe est i H — ^ ? par-
tant du point i , décrit une droite formant l'angle — 26 avec l'axe réel positif. On en conclut
pour ^lsin26| pour
et par suite, en utilisant l'égalité (5) (p. 71),
\ |JA:(re'^)|<|T;t-Mj pour
\h(rei^)\<
A-hl
sinab
pour -- < G < -.
Pour trouver une limite de Ja(^) dans le cas où 1 6(^ - > nous allons nous servir de l'égalité
qu'on vérifie immédîatemenl en développant suivant les puissances descendantes de x l'expression de la dérivée J'(^) qui figure dans la dernière formule de la page 87. En prenant pour chemin d'intégration, dans l'intégrale ci-dessus, le rayon formant avec l'axe
réel positif un angle ^j^ compris entre et -> cette égalité sera
valable dans le demi-plan ij <;9<[^H — » ce qu'on démontre
en raisonnant comme à la page 98.
Or, en faisant t = ue^^^ x = re'^, on aura, pour u > o,
^|sin2(e-4.)|,
d'où il résulte, d'après ("j).
|Ji(^)l<
sin2(6 — t]/) ic**-^'
MÎA-h! du
Tcucostj; £
En substituant Mcostp = ^, on en déduit, d'après l'égalité (5)
lJJt(:r)|<K4^±L
avec
sin2(0 — tj;)(cos4;)*^+2
et, par suite, en intégrant Ji,(^) depuis l'infini jusqu'au point j?, le long du rayon vecteur passant par ce point.
|JA(re'e)|<K|TA.+i|,
résultat qui subsiste dès que les conditions |'j'|< -etlô — 'l'I^" sont vérifiées simultanément.
Si l'on fait, par exemple, ^ = 9 qz y suivant que O^o, on aura
Tz\'\ **-♦-»
K=[séc(|0|-^)]
et l'inégalité (8) sera valable pour |0| < 71t. Jointe à la première
des inégalités (3), elle nous donnera donc, pour [JaI, une limite
LES FONCTIONS T(x), ^(5), Ç(5, w). lOI
qui est plus précise que celle de Stieltjes tant que | 8 1 <; -> et qui
se confond avec cette dernière pour ] 6 | = - •
Mais afin d'obtenir le résultat le plus avantageux, pour un argument donné 8, on devra évidemment choisir l'angle ^ de manière à rendre minimum la constante K, ce qui donne la condition
tangij^ tanga(6 — tl) =— -^^^ .
Soit, par exemple, |8|= y; on trouve
tang^H =
/2Â:-h3 d'où il résulte
et, comme le second facteur de cette expression est inférieur à y/e, on aura, pour 8 = dz ->
limite bien plus précise que celle de Stieltjes, qui s'écrit 2*"^* |Ta+< |.
La limite que fournit notre méthode pour 1 3/^ \ devient moins
précise que celle de Stieltjes lorsque [ 8 1 dépasse une certaine
valeur, supérieure à -• Mais il faut remarquer que, dès que
1 8 I >> -} l'égalité (lo) (p. 92) conduira^ en général, à des résultats
plus précis que l'une quelconque de ces méthodes. En effet, l'intégrale J(j7) sera toujours représentée par le développement (i), et, comme J/ç(x)^ — Ja( — :r) et que l'argument de — x est compris
entre et -> on pourra appliquer à Ja(^) les résultats obtenus
ci-dessus dans le cas où | 8 | < - • Quant au dernier terme de l'égalité (10), son module est inférieur à
|Iog(î — e-2«'''sin6l)|^
quantité qui sera en général très petite par rapport à la limite
qu'on trouve pour | J* |. Il n'en serait plus ainsi si le point x était très près de l'axe réel négatif, mais alors on prendrait évidemment le parti de calculer la valeur exacte du terme en question.
