La fonction ^(5) est représentée par la série

tant que la partie réelle de la variable complexe

est supérieure à l'unité. Sous la même condition, on aura encore

a?*-* dx

ce qu'on démontre facilement en se servant de l'égalité

C'est en partant de l'expression (2) que Riemann (*) est arrivé, par une application ingénieuse du calcul des résidus, à prolonger 1^(5) dans tout le plan et à découvrir les propriétés si intéressantes de cette fonction. Nous allons déduire ces mêmes propriétés des formules sommatoires du Chapitre précédent.

A cet effet, posons y (2) = 5~*, d'où

p(x,t)= (x*-f-/*) *cosf 5 arctang - j,

q('z,t) = — (T*-f-<*) *sin f 5 arc tang-

Les trois dernières conditions de la page 67 sont vérifiées dans le demi-plan t > o ; en supposant $ > i ? de sorte que la série ( i )

( ' ) Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze, iSSg .

LES FONCTIONS T(x), Ç(5), Ç(5, w). I03

converge, et en faisant m = i, on trouvera donc, d'après la formule (IV), page 6i,

(3) Ç(5)=-4-- -+a/ (i-ht^) «sin(^arctangO ^a^.. ^

et, d'après la formule (IF), page Sg, pour a = ->

Une autre expression de ^(s) se déduit de la formule (VIII), page 65. En faisant a = -> z = — \- it^ on trouve

Les trois expressions ci-dessus ont été données pour la première fois par M. Jensen (* ).

En partant de la relation

et en appliquant la formule (X), page 66, avec m = i , a = - f on trouverait encore

Il est facile de voir que les intégrales définies figurant dans les expressions précédentes représentent des fonctions analytiques, holomorphes pour toute valeur finie de 5; d'après le principe établi au n** 9, on peut en conclure que l'une quelconque de ces expressions donne le prolongement analytique de ^(s) dans tout le plan. Il en résulte que K(s) est une fonction uniforme dont le seul point singulier à distance finie est le pôle simple 5 = i de résidu i .

(*) L'Intermédiaire des Mathématiciens, 1896, p. 346.

D'autre part, on déduit de l'égalité (3), pour s = o,

puis, en retranchant des deux membres > faisant ensuite

tendre s vers l'unité, et tenant compte de l'égalité (3), page 70,

et enfin, en différentiant par rapport à 5, faisant 5 = o et utilisant l'égalité (2), page 70,

Ç'(o)=2 / arctang/j^^^^-— — 1= — log/ait.

50. En appliquant maintenant la formule (II), page 58, avec m = ij o < a << I , on obtient

i, ^a+.oo ,^^. a-i« ^.,^^

(7) ?(^) = — W .-^i^^Trzn-/

gtlZlZ £

expression qui représente encore l^(s) dans tout le plan.

Faisons tendre a vers zéro et, pour éviter toute difficulté, supposons Ç <^ — I, de sorte que les expressions sous les signes intégraux restent finies à l'origine. Le premier terme de l'expression ci-dessus s'annulera et, dans les deux autres termes, on aura simplement à remplacer a par o. En substituant respectivement

Ttt TZl

dans ces derniers termes z=:e^tetz = e ^ t, l'égalité ( 7) devient, après une réduction facile,

(^) Us)='is.n -J -,^-.

Comme le second membre de cette égalité représente une fonction holomorphe pour Ç < o, l'égalité subsistera dans toute cette portion du plan, malgré l'hypothèse plus restreinte, Ç <^ — i , admise dans le cours de la démonstration.

L'égalité (8)nous montre que ^(s) admet les points s= — 2, — 4j •••7 — 2/2, .... comme zéros du premier ordre, et, d'après

LES FONCTIONS T{x), Ç(5), C(^, w). I05

l'égalité (5), page 71, on en déduit d'autre part

enfin, en substituant 2Tzt = x^ l'égalité (8) devient

d'où il résulte, par comparaison avec l'égalité (2), (11) ^{s) = •2(2'ir)-^-»sin^r(i— 5)Ç(i— ^).

C'est l'équation fonctionnelle établie par Riemann, qui joue un rôle fondamental dans la théorie de la fonction Ki^)-

La formule sommatoire d'Euler et les autres formules établies aux n**' 39-41 conduisent également à des résultats importants relatifs à l'étude asymptotique de la fonction ^(s) et au calcul numérique de ses zéros, mais nous ne pouvons nous étendre ici sur cette intéressante question (* ).