Considérons maintenant la fonction
qui se réduit à J^(a) pour w= i. Nous devons substituer dans nos formules générales
d'où
p('z^t)= [(x H- tv)2-f- <2] îcos ( 5 arc tang U
q{z^ t) =— [(t -h w)'-h t^] ^sin ( s arc tang^;-;
Si l'on suppose la partie réelle de w positive, la formule (IV),
(*) KoiV pour cette question : Mkllin, Eine Formel fiXr den Logarithmus trcuiscendenter Funktionen von endlichem Gescklecht {Acta Soc. Se. Fenn.^ * t. XXIX, n" 4, p. 48-49); Gramm, Note sur les zéros de la fonction ^(5) de Riemann {Acta Mathematica, t. XXVII); Wirtinger, Einige Anwendungen der Evder-MaA^laurin' schen Sunimenformel {ibid., t. XXVI), et notre Mémoire cité au n<> 35.
fo6 CHAPITRE IV.
page 6 1 , sera applicable et nous donnera ( ' )
expression valable dans tout le plan et qui montre que t^(5, iv) est une fonction uniforme admettant pour seule singularité à distance finie le pôle 5= i de résidu i. On en conclut, d'autre part, pour 5 = 0,
puis, en retranchant et en faisant tendre s vers l'unité,
dt
lim K(*î «*) = — lo^wH h 2 / — r —
et enfin, en différentiant par rapport à 5 et faisant ensuite s = o,
Ks(OyW)= ^iv— ijlogw — 1V4-2J arctang- ^t^t;-
En vertu des égalités (7) et (6), page 89, ces deux dernières expressions se réduisent respectivement à
— — et à logr(w) •— log/^TT.
Ces propriétés de Ç(5, iv) ont été établies par M. Lerch en suivant une autre voie. Pour ^v = i, elles se réduisent aux propriétés de la fonction ^(s) signalées au n° 49.
Appliquons maintenant la formule (IF), page 69, avec m = o, — i << a <; o, et supposons la partie réelle de w supérieure à — a, de sorte que la fonction y*(z) soit holomorphe pour T^a. On aura
Ç(^, «,) = 0^-^y'-' ^ r[p(oL, t) X(a, -h qioi, t) ^^(a, 0] dt,
expression valable pour toutes les valeurs de s. Lorsque la quantité w est réelle et comprise entre o et i, on en déduit, en faisant
(^) Cette application de la formule (IV) a été indiquée par Hermite {Annali di Matematica pura ed applicata, 3» série, t. V, 1900).
LES PONCTIONS T(x), ^(f), Ç(5, w), I07
tendre a vers — w, et en supposant d'ailleurs la partie réelle de s négative, de sorte que l'expression sous le signe intégral reste finie pour / = o,
Ç(5, iv) = 2sin — / t-^W{w,t)dt-^-'iCOS-^ 1 t-'X(w,t)dt,
On constate aisément que le second membre de cette égalité définit une fonction holomorphe de s tant que la partie réelle de cette variable est inférieure à i , et que, pour une valeur donnée s vérifiant cette condition, la même expression définit une fonction analytique de w qui est holomorphe dans la bande comprise entre l'axe imaginaire et la parallèle à cet axe passant par le point (v = i . Donc, d'après le principe établi au n" 9, l'égalité en question a lieu tant que s et w restent dans les domaines indiqués.
En égalant 5 à un entier négatif, — v, on déduit de la formule précédente, à l'aide des égalités (6), page 71,
D'autre part, en supposant o <^kv <^\ et en substituant aux expressions ^((V, t)^ X((v, t) les développements indiqués dans la note de la page 7 1 , on conclut
Tt.? V^ C0S2V7UW 715 V^ SintiVTtiV I
sin — > ■ h ces — 7 , I »
résultat dû à M. Hurwitz (* ). En faisant (v = i , on retombe sur la formule (11).
(') Zeitschrift fiir Mathematik und Physik, t. XXVII, 1882.
