Pour F(x) = I, la formule (i) s'écrit

s-'-if- MiB"-

Soient R et <^ le module et l'argument de la fonction /(a?), de sorte

(^) La formule (3) a été donnée par Cauchy, pour le cas où le contour C est un rectangle ou s'y ramène par une transformation bi-uniforme des coordonnées, dans le Journal de l'École Polytechnique, Cahier XIX, iSaS, p. 58o. Voir aussi OEuvres de Cauchy, série II, t. VI, 1826, p. 1\oi'[{'îi, Mais les idées de Cauchy sur ce sujet remontent, à ce qu'il semble, à un Mémoire Sur la résolution des équations par le moyen des intégrales définies, qu'il avait présenté à l'Académie le 22 novembre 1819, mais qui n'a pas été publié.

que /(^) = R^'*; on aura

et, par suite,

'XT.iJ^ J{x) 'ir.ijç^ "^ 2t:J^

Or le premier terme de cette somme est nul, puisque la fonction logR est uniforme sur C, et le second terme est ëgal à — > en désignant par A<î> l'accroissement total que reçoit l'argument ^ lorsque le point X décrit le contour C dans le sens direct. Nous arrivons donc au théorème suivant, qui joue un rôle important en Analyse, et qu'op peut d'ailleurs établir d'une manière élémentaire :

Si une fonction f(x) est uni/orme et ne présente d'autres singularités que des pôles dans un domaine donné T, en étant d^ailletirs holomorphe et différente de zéro sur son contour C, V accroissement que reçoit l'argument de cette fonction lorsque le point X décrit le contour C dans le sens direct est égal au produit de itz par la différence entre le nombre de ses zéros et le nombre de ses pôles compris dans T, chaque zéro et pôle étant compté autant de fois que V indique son ordre.

On en déduit cet autre théorème, qui rend également de grands services dans diverses questions d'Analyse :

Soient deux fonctions, f{x) et ^{x)^,uniformes et holomorplies dans un domaine T et sur son contour C, et admettons d'ailleurs quef{x) ne s'annule pas sur G; si l'inégalité

est vérifiée pour tout point du contour C, les fonctions f{oc) et f(x) + <f(x) ont le même nombre de zéros dans le domaine T.

Écrivons, en effet,

f{x) H- t^(x) ^f[pp)^{x),

d'où

Lorsque le point x parcourt le contour C, le point dont l'affixe est égal à ^(x) décrit une courbe fermée qui, en vertu de l'inégalité ci-dessus, est intérieure au cercle passant par l'origine et ayant pour centre le point ^ = i . Quand le point x sera revenu au point de départ, l'argument de ^(^r) reprendra donc sa valeur initiale et, par conséquent, l'accroissement total de l'argument de/{x) 4- f (^) sera le même que pour la fonction f{x)^ d'où résulte la proposition énoncée.