Démontrons maintenant ce théorème

Les zéros dUine Jonction analytique de la variable x^ f{^^ t)^ qui dépend d'un paramètre t^ et qui est continue par rapport aux deux variables x et t, sont eux-mêmes des fonctions continues du paramètre t.

Soient to une valeur -particulière du paramètre t^ Xq un zéro de y(j7, ^o) et m l'ordre de ce zéro [on suppose /{x^ to) holomorphe dans le voisinage du point Xq]» Il s'agit de démontrer que, pour les valeurs t peu différentes de to, la fonction /( a?, t) admet précisément m zéros tendant vers Xo lorsque t tend vers to.

Du point Xo comme centre, décrivons un cercle d'un rayon e assez petit pour cfl^ie^la fonction y(x, to) soit holomorphe et différente de zéro pour o<^\x — ^o| = e. Sur la circonférence de ce cercle, le module \/(Xj to)\ aura un minimum positif que nous désignerons par r^. Choisissons encore un nombre positif 8 tel que, pour \x — xo\ = e, \t — ^0 I < 8? on ait

et, par suite,

/(^,to)

ce qui est possible en vertu de la continuité de /(x, t).

Gela posé, il résulte de la proposition établie à la fin du n*' 12 que, pour | ^ — ^o | <C ^j ^^ fonction /{x, t) admet, dans le cercle \a: — Xo\<,€, autant de zéros que la fonction /{x, to), c'est-à-dire

précisément m zéros, et comme ce résultat subsiste quelque petit que soit e, à condition qu'on prenne en même temps le nombre 8 suffisamment petit, on voit bien que ces m zéros tendent vers Xq lorsque t tend vers ^©^ comme nous l'avions avancé.

14. On peut préciser notablement ce résultat dans le cas où la fonction y(^, t) est analytique par rapport aux deux variables x et t. En simplifiant un peu les notations précédentes, admettons que cette fonction est holomorphe tant que les variables restent comprises dans les cercles I J7|<; r, |/[<< p (*), et que l'origine est un zéro d'ordre m pour /(x^ o).

En raisonnant comme ci-dessus, on voit d'abord qu'on peut trouver deux nombres positifs, r'(<; /•) et p'(< p), tels qu'on ait

1/(37, o)|èïj (>o) pour \x\ = r'

et, d'autre part,

< I pour 1^1 = ''» 1 ^ I = P-

On en conclut que, pour | /|^p', la fonction J(x, t) est différente de zéro sur le cercle | a? | = r' et admet à l'intérieur de ce cercle m zéros, :ri, X2^ ..., Xm, qui sont des fonctions continues de / ^l s'annulent en même temps que t.

Soit maintenant F(j7, t) une fonction analytique quelconque des variables x, tj qui reste holomorphe pour |a:|^/, \t\^p\ Nous

(*) Cela signiGe, d'après Cauchy, que la fonction f{x,t) reste continue et admet, par rapport à chacune des variables, une dérivée unique également continue, pour toutes les valeurs x^ t comprises dans les cercles indiqués. Pour une valeur donnée t de module inférieur k ^^ f{x, t) est donc une fonction analytique de x^ holomorphe pour \x\<,r, et vice versa. Si G et T sont des contours fermés pris dans Pintérieur des cercles I a? | = r, U | = p, on trouve, en appliquant deux fois de suite la formule (6), page 8,

^'-^'' = T^JJvx(^

fa,'z)d\d'z

X et t étant respectivement intérieurs aux contours G et T. De cette égalité on conclut que, dans son domaine d'holomorphie, la fonction /{x,t) possède des dérivées de tous les ordres et peut se développer en série de Taylor.

allons démontrer que la somme

F(0 = Y{xu t) -4- F(a:j, t)-\-., .+ F(a7,„,

est une fonction holomorphe de t dans le cercle | ^ | < p'.

Pour une valeur donnée t de module ^p', /(^j t) et F(a?, t) représentent des fonctions analytiques de x qui sont holomorphes pour [xj^r' et, de plus, f{x^ t) ne s'annule pas sur le cercle I or I = r'. D'après la formule (2), on aura donc l'égalité

(4) F(0 = -'^. f^{x,t)dx pour l^l^p',

OÙ G désigne la circonférence |a? | = /•' et ^(^, t) l'expression

D'autre part, si x est l'affîxe d'un point quelconque de G, cette dernière expression définit une fonction analytique de / qui est holomorphe pour | ^ |^ p', puisque, dans ces conditions, le dénominateur /(a:, t) est différent de zéro. Par la formule (8), page 9, on aura donc, pour ) ^ | < p', F désignant la circonférence | t] = p',

(5, *(.,„.2Df*(«,o,£;*ji,j;;(£)":^*.

Comme les zéros x^j x^^ . . . , Xm de f{x^ t) se confondent avec l'origine pour ^ = 0, les dérivées D^^^<^(^, o) sont des fonctions holomorphes de x pour o < | ^ | ^ /''.

En substituant l'expression (5) dans l'égalité (4), on trouve (*)

OÙ Ay désigne le résidu de — D^'*'- ^{x^ o) relatif à V origine :

Av= -^. r A Dï')*^^, o) dx.

(^) On remarquera que la fonction 4» (a?, t) est, en vertu de nos hypothèses, continue pour \x\-=i r\ j f | = p', de sorte que les intégrations à effectuer dans le dernier terme de la formule (6) n'impliquent aucune difficulté.

26 CHAmnE n.

Or le dernier terme de (6) a son modale inférieur à la quantité

ro'M

M étant le maximum de|4>(j:,T)| pour 1x1==/^, |t]= p', et comme cette quantité s'annule pour /i = oo, puisqu'on suppose | / 1 <; p', on voit que Vexpresùon F(/) est représentée dans tout le cercle \t\<Zç»' par le développement

(8) F(/)=^Avr'.

Nous avons donc démontré la proposition que nous avions en vue et trouvé en même temps une limite supérieure (7) de l'erreur qu'on commet en arrêtant le développement (8) après un terme déterminé.

• En faisant F(x, /) ^ x^. k étant un entier positif, on conclut de Ja proposition ci-dessus que les sommes

Sa- = ipf h- a?^' -h . . . -i- j-

sont des fonctions analytiques de /, holomorphes pour | ^| < p' et s^annuJant pour ^ = o. Il en sera donc de même des coefficients des diverses puissances de x dans le développement du produit

puisque ces coefficients sont des polynômes en S|, S2, . . ., S|», et nous arrivons ainsi à ce théorème fondamental :

Etant donnée une fonction analytique^ /C^? ^^t ^^^ deux variables x^ t, qui est holomorphe tant que les modules de ces variables restent au-dessous de certaines limites; si V origine est un zéro d^ ordre m pour f{x, o), V équation

admet précisément m racines qui tendent vers zéro avec t. Ces racines vérifient une équation de degré m^

dont les coefficients sont des fonctions analytiques de t, holomorphes dans le voisinage de Vorîgineet niilles pour ^ = o (* ).

15. Appliquons les résuJtats précédents au cas où Ton a f{x, t) = x — tm(x), F(ir, t) = F{x),

les fonctions ts(x) et F(^) étant holomorphes pour |:r|<;/'. La condition (3) s'écrit

<i pour |ar I ==/•'(< /'), |'| = p'-

Les nombres r' et p' satisfaisant à ces conditions, comme Ton a

actuellement m = i , on peut conclure des résultats du n® 14 que,

Y>our 1^1^ p', l'équation

X — tw{x)=^ o

admet à l'intérieur du cercle |^| =rr' une seule racine, ^, qui est

fonction holomorphe de t, pour | ^ | < p', et s'annule pour / = o. D'autre part, en développant l'expression

^/ N T^/ N I — tm'(x) suivant les puissances de t, on trouve que le coefficient de ^^ s'écrit

OU encore

( * ) Les principaux résultats des n®' 12-15 ont été établis par Cauchy dans les Mémoires de Tannée i83i (Cf. Bulletin de Fe'russac, i83i, et Exercices d^Ana-* lyse, t. II).

Vers i86o, le théorème ci-dessus, d'ailleurs sous une forme plus générale et avec des développements ultérieurs, a été retrouvé par Weierstrass qui, cependant, n'a publié ses résultats qu^en t886, dans les Abhandlungen aus der Functionenlehre, D^autre part, M. Poincaré est, de son côté, arrivé au même théorème dans sa thèse : Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différences partielles^ \%'}^. Voir aussi É. Picard, Traité d* Analyse, t. II, p. 243,

Cauchy est d'ailleurs à plusieurs reprises revenu sur la théorie des fonctions implicites, dans le but d'en simplifier les principes. Voir^ par exemple. Œuvres, série I, t. IV, 1837, p. 48-60, et t. V, 1840, p. 180-198. Dans la seconde de ces Notes se trouve (p. 193-198) une démonstration qui présente certaines analogies avec celle de Weierstrass.

Nous savons que le coefficient de t* dans le développement de la fonction F(î) est égal au résidu de cette expression à l'origine. Or, le résidu du premier terme est nul, puisque ce terme est la dérivée d'une fonction uniforme {voir p. i3); et, d'après l'égalité (7) page 9, le résidu du second terme est égal à la dérivée

lDÏ-»JF'(rr)[m(;r)]vî, prise pour a: = o. En somme on aura donc, pour I ^ | < p'.

et en particulier, pour F(a7)= J7,

Ce sont les célèbres développements établis par Lagrange.

16. En terminant cette section, nous allons déduire de la formule (i) un résultat intéressant, en y faisant F(^)== \o^x.

Prenons un cercle C ayant l'origine comme centre et de rayon /•, et désignons par «i, «2? •••? cim les zéros et par 6|, 62, ..., bn les pôles de la fonction f{x) compris dans ce cercle, chaque zéro ou pôle figurant dans ces suites autant de fois que l'indique son ordre. Pour simplifier, supposons d'ailleurs y(o)= i.

L'origine étant un point critique pour log^, nous l'exclurons de notre domaine par un petit cercle, c, laissant à l'extérieur les points a et 6; puis, en évitant toujours ces mêmes points, nous mènerons une coupure, L, allant d'un point de c au point ^ == r de C. Nous obtenons ainsi un domaine simplement connexe, T, dont le contour, S, se compose des cercles C et c et des deux bords de la coupure L, et où la fonction log^ est uniforme et holomorphe. Pour tout fixer, convenons d'ailleurs de choisir, parmi les diflFérentes branches de loga?, celle qui prend la valeur réelle logr au point ^ = r du bord supérieur de la coupure.

Cela posé, en faisant F(a?)= log^ et en prenant S pour contour

d'intégration, la formule (i) nous donne

Intégrons par parties, en partant du point x = r (du bord supérieur de la coupure L); on aura

Lorsque le point x^ décrivant le contour S dans le sens direct, revient au point x = r, log^ reprend sa valeur initiale log/\ Quant à la fonction log/(a:), laquelle peut se mettre sous la forme logR -}- i^, R et O étant respectivement le module et l'argument dey(:r), il résulte du théorème de la page 22 qu'elle prendra dans les mêmes circonstances la valeur logy(r) 4- 2 7ri(/w — /i), et l'égalité précédente deviendra donc, en divisant par 2 7t/,

Si l'on convient de choisir pour log/(^) la détermination qui

s'annule à l'origine, la fonction ^' — - sera holomorphe dans le

cercle c et prendra la même valeur en des points correspondants situés respectivement sur les deux bords de la coupure L. 11 en résulte

car l'intégrale prise sur c est nulle et les intégrales relatives aux deux bords de L se détruisent; l'égalité (9) devient donc

Q 'te

OU encore, en égalant les parties réelles des deux côtés.

CCI Uf ... Ufft

= (/n — /i)logr— — / log|/(re'?)|û?(p.

G3 résultat constitue l'important théorème découvert par M. Jen-

3o GHAIMTRE II.

Ib

sen (*) et qui joue, en particulier, un rôle fondamental dans. la théorie des fonctions entières.