II. Quelques applications aux fonctions méromorphes
17, Soit une fonction méromorphe, /(«), c'est-à-dire une fonction analytique uniforme dans tout le plan et n'ayant à distance finie d'autres singularités que des pôles, et construisons de l'origine comme centre une suite illimitée de cercles
qui ne passent par aucun pôle de/(5), et dont les rayons
aillent en croissant indéfiniment. On aura pour chaque indice v, en posant pour abréger ^y = /•ve'4'.
ÎTT
Il peut arriver que cette expression tende vers une limite finie et déterminée lorsque v croît indéfiniment. S'il en est ainsi, cette limite sera appelée le résidu intégral de la fonction f{z) (relatif
à la suite C|, c^, ...)(-) et désignée par S,[f{^))' On aura donc, par définition.
(^) Acta mathematica, t. XXII. C'est M. Goursat qui a le premier rattaché ce théorème a.u calcul des résidus {-Bulletin des Sciences mathématiques, octobre 1902). Voir aussi une Note récente de M. Mittag-Leffler {Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXXII).
(*) C/. Œuvres de Cauchy, série II, t. VII, 1827, p. 291-323. Dans cet article, qui est d^une remarquable précision, Cauchy donne d'ailleurs une définition plus générale du résidu intégral, en considérant (p. 294), au lieu des cercles Cy, un contour fei^mé quelconque dont la forme varie ^ans cesse et de manière que ses différents points s'éloignent indéfiniment de l'origine. 11 utilise ainsi, dans toute sa généralité, la représentation géométrique des nombres complexes, ce qu'il n'est pas sans intérêt de hotér^ vu la date de cette pùbUcation.
APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RESIDUS. 3l
Cela posé, on tire facilement de l'égalité (i) cette proposition :
Si la condition
(3) \imzy/{Zy) = \
est vérifiée uniformément pour o ^ ♦{/ ^ 2 7t, le résidu intégral de la fonction /(z) est égal à A.
En effet, l'égalité (i) nous donne
et, en vertu de l'hypothèse admise, on aura d'autre part, quelque petit que soit e, | Zyf{z^) — A ] < e, dès que v dépassera une certaine limite. A partir de cette même limite, on aura donc aussi
y'fe
d'où résulte la proposition énoncée. Cette proposition subsiste dans le cas plus général où sont vérifiées les conditions suivantes :
I** I z^J(zy) I < M pour tout indice v, M étant une constante.
2** La condition (3) est vérifiée uniformément dans toute portion de V intervalle o£J/£27t qui ne comprend pas certaines valeurs particulières tj;,, 'io, . . . , ^/,.
En effet, si t et 7^ désignent deux nombres positifs arbitrairement petits, et si, de l'intervalle o^ ij^^2 7r, on exclut les segments
^*—Ti<4^<<^it-hT) (A: = i,2, ..., n),
dont la longueur totale est au plus égale à 2/iy|, on a dans le reste de cet intervalle | Zyf{zy) — A|<1 s dès que v dépasse une certaine valeur v©. Le second membre de l'égalité (4) est donc inférieur en valeur absolue à la quantité
2/1 TJ
'ITZ
dès que v > Vo, et tend, par suite, vers zéro lorsque v croît indéfiniment.
Par un raisonnement analogue, on démontre cette autre proposition dont nous aurons également à faire usage :
Si le module du produit Zy/(zy) reste inférieur à une quan^ titéjixe quel que soit v, et si les conditions
lim«v/(-5v) = A pour +o -+- & < <V < 4^0 -M^ — e,
lim Zvy(-5v) = B pour ^q-\-t: -^t <,^ <^'^o-^ '^'^ — 6
sont vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués y quelque petit que soit e, le résidu intégral de la fonction f{z)
est égal à - (A -h B).
18. Comme première application, cherchons à évaluer les nombres de Bernoulli, c'est-à-dire les nombres Bj, B2, ... qui figurent dans le développement
(5) -^j = i--i+y(-,)v-i-2^^îv-i.
Le coefficient ( — i)*~* . ,^ . représente le résidu de la fonction
Z^k gZ
à l'origine. Les autres pôles de cette fonction méromorphe sont d[i27t/v(v= I, 2, . . .) et les résidus correspondants ( — i)*(27cv)'~^*. Or, on constate facilement, en prenant rv=(2v — i)7t, que le module de l'expression (5) reste inférieur à une quantité finie sur les cercles Cy (*), et il en résulte que le produit s^f(Zy) tend uni-
(*) De chacun des pôles de la foDCtion çp(5)= -^ comme centre, décrivons
un cercle de rayon arbitrairement petit mais fixe, et désignons par T la région extérieure à ces cercles. Je dis que |f(<z)| est inférieur à un nombre fini M pour tout point de T. Soit, en efTet, a un nombre positif et posons z = t -h it; ou
aura évidemment | f (-«) | < ^ pour T>a, et|9(-s)|< ^ pour t< — a,
et d'autre part on trouve, en tenant compte de la périodicité de f (^), que 1 9(^)1 aura un maximum fini dans la portion de T comprise dans la bande — a = 'sèa. On prendra pour M la plus grande de. ces trois limites. Le nombre x étant assujetti à la condition o^â7 = i, on démontre de même
formément vers zéro pour o^<|^^2'rt lorsque v croît îndéfînlmenl. D'après le n? 17, le régidu intégral de la fonction /(z) se réduit donc à zéro et, par suite, le coefficient considéré ci-dessus est égal et de signe contraire à la somme des résidus de /{z) relatifs aux pôles dz 2 7ctv, d'où l'on déduit
(6) ^* - 7ÏÏW 2j ;;ï*
Par un raisonnement de tout point analogue on trouve pour les nombres d^Eulery qui figurent dans l'égalité
1"" expression
(8) E* = 2(.aA:)!(-) ^^-i-l^^ {k = o,i,...).
Cherchons maintenant les coefficients o^,{x) du développement
Kn multipliant (5) par la série qui définit e^^, on obtient
aue le module de la fonction reste au-dessous d^une limite finie M' dans le
domaine T. Ce module est, en effet, inférieur à pour t < — a, inférieur
à e*Mdansla portion de T faisant partie de la bande — a^T^a, et, enfin, inférieur à ^ pour T > a, ce qui résulte de l'identité
On pourra donc prendre M'= e"M.
Des remarques analogues s'appliquent à chacune des fonctions
sécz, coséc>3, tang^, cot>3, — (o;^a7^i), . . .,
dans les régions qu'on obtient en excluant leurs pôles par de petits cercles. L. 3
les lettres C désignant les coefficients binomiaux. Mais nous allons obtenir une autre expression de ces polynômes, en observant
que '^ , représente le résidu relatif à l'origine de la foi\ction
Soit d'abord n > i , et supposons la variable x réelle et comprise dans l'intervalle o^a?^i. D'après la remarque faite ci-dessus, le produit Zy,f{zy,) tendra uniformément vers zéro pour o^tj>^2u lorsque v croît indéfiniment, en prenant toujours rv = (2v — i)7c. Le résidu intégral de la fonction f{z) est donc égal à zéro, et l'on en déduit après quelques réductions faciles, pour A: = i , 2, . . .,
(II
,. , , , . , v^ sinsvirx , .
'p.t+Ka') = (- i)*+»a(2A-H-i) ! ^^ (I^^^jiFfi = ?«*+«(^)>
formules valables tant que o^^r^i. En vue d'applications ultérieures, nous conviendrons de désigner par ©2a(^)î ^2h+\{^) les fonctions périodiques de période i qui figurent aux seconds membres de ces formules.
Lorsque /t = i, le résidu intégral de la fonction (10) est encore égal à. zéro, pourvu que x reste dans l'intervalle o < ^ <! i ? les limites étant exclues. C'est ce qu'on déduit des résultats de la page 3i, en remarquant, d'une part, que le module du produit
reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles Cv, d'après la note de la page 32, et, d'autre part, que ce produit tend uniformément vers zéro lorsque z s'éloigne indéfiniment de l'origine en restant intérieur à l'un des angles
e étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra.
On aura donc, pour o < j; < i ,
sin2V7ca7
Nous désignerons par f i(^) la fonction périodique
— , ^ v^ sinavira?
fonction qui se confond avec x — v pour v < ;r << v H- 1 .
m étant un entier positif quelconque, on aura, pour o <^x <C i ,
sin2V7rar
iTzi J^ e- — I z
et comme, d'après la note de la page 32, le module de l'expression (12) reste inférieur à la quantité finie M' sur les cercles Cv, et comme, d'ailleurs, la somme (i5) admet la période i et s'annule pour les valeurs entières de x^ on peut en conclure que la somme (i5) reste inférieure en valeur absolue à la quantité M' pour toutes les valeurs réelles de x^ quel que soit V entier positif m. D'autre part, on peut déduire de l'égalité (i5) ce fait bien connu que la série (i4) converge uniformément dans l'intervalle e^a?^i — e, quelque petit que soit le nombre positif t.
On appelle polynômes de Bernoulli les polynômes P définis par les égalités
Conformément à la notation adoptée ci-dessus, nous conviendrons de désigner par P2a(^), P2A4.1 (^) les fonctions périodiques de période i qui coïncident respectivement avec ces polynômes dans l'intervalle o ^ :r 1 1 .
Ayant à nous occuper souvent des polynômes <p et P dans la suite de cet ouvrage, nous en signalerons ici quelques propriétés importantes qui se déduisent immédiatement de nos formules.
En rapprochant l'égalité (9) de celle qu'on obtient en la différentiant par rapport à x^ on trouve les relations
(16) ?i+i(iP) = (v-4-i)«pv(a?) (v = i,2, ...),
qu'on pourrait aussi déduire des formules (11). De celles-ci on conclut immédiatement
puis
<ipîA-+-l(0) = cpîAr+l ( 5) = ?îA:+l(') = O,
et, en tenant compte de l'égalité (6),
(17) ?2a(o) = 9,a(i)= (- 1)*+* Bk. ?îA (i) = (-O^Bi,,
où
La plus grande valeur numérique de ô^ki^) étant égale à B>t, d'après (11), onwoil (\\\e le polynôme V^hi^) s* cinnule pour x^^o et pour x=^ I, e/i gardant dans V intervalle compris entre ces valeurs un signe invariable, à savoir celui de ( — 1)*. Signalons aussi l'égalité
(18) f P,A(:r)û?ar = (-i)*BA.,
qu'on vérifie de suite en intégrant la première des formules (11). Considérons encore, avec Hermite (*), les polynômes y (jT) qui figurent dans le développement
(') Journal de C relie, t. 116, p. i44»
APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DES RÉSIDUS. 'iy
Un raisonnement analogue au précédent conduit aux égalités
Xîa(^)= (- 1)^2(^^) 1 2à [(2v-i- i)7r]>^^i ^ ^>^'^-(^^ (X: = i,2,...),
on
/ N / v/ . 4 r » M V^ C0S(2V -h l)7ra7 « , . , , V
qui sont valables pour o^j;^i. Les expressions qui figurent aux seconds membres, et que nous désignerons par X2a(^)> X2k+i (^)î admettent la période 2 et changent de signe lorsqu'on ajoute à la variable x une demi-période, c'est-à-dire l'unité.
Nous désignerons de même par Xo(^) ^^ fonction périodique
, ■ , . VI sm(2v-t- i)t:x
(2v-+-i)ir
dont la valeur est égale à -> pour 2v<;;r<;2v+i, et à pour
2v+i<;^<2v+2, vêtant un entier quelconque. Quant à la convergence de la série qui figure au second membre de l'égalité (21), on pourra répéter mot à mot ce qui a été dit au sujet de la série (i4)«
Des égalités (19) et (20) on déduit les relations
(2*) Xi+l(^) = (''^-OXv(^) (v = 0, 1,2, ...),
Xu(i — a?) = xu-(a?), x«*+i (i ~ ^) = — X«A:+i(a?), et, enfin, en tenant compte de l'égalité (8),
19. A l'aide des considérations du n° 17 on peut, dans certains cas, décomposer une fonction méromorphe en fractions rationnelles (*).
Supposons, par exemple, qu'il soit possible de choisir les
(») Cf. Œuvres de Cauchy, série II, t. VII, 18:^7, p. 324-344, et série I, t. VIII, 1844, P- 378-385.
cercles Cy de telle sorte que, si l'on pose toujours z^= r,,e^'^, le module |/(^v)| reste au-dessous d'une limite finie, quels que soient ^ et v, et que, d'autre part, l'égalité
lim/(-5v) = A
V=oo
soit vérifiée uniformément dans l'intervalle o^ A^27î ou, plus généralement, dans toute portion de cet intervalle qui ne comprend pas certaines valeurs particulières, ^t^ ^2^ - - -•) ^n* ^^ ^t^ sera alors de même, quel que soit x, de l'égalité
et l'on en déduit, d'après le théorème de la page 3 1 ,
Or le résidu de -^ ^^ au point z = x est égal à fix)^ et nous pouvons donc écrire le résultat précédent sous la forme
OÙ la somme ^ ne comprend, cette fois, que les résidus de '^ ■
relatifs aux pôles de/(^) (*).
Si l'on suppose les conditions
lim/(zv) = A pour 4^0+ e < ^^ < 'l'o-H ît — £
lim /(zv) = B pour %-+-7t-i-£<4/<'}'o-*-a7t — t
vérifiées uniformément dans les intervalles indiqués, quelque petit que soit e, et si |/(^)| reste d'ailleurs au-dessous d'une limite finie sur les cercles Cy, on trouve, par le même raisonnement que
(*) A l'exemple de Gatichy, nous désignerons désormais par les notations A^ 'P(^)(/(^))> et y < f(^ w ^^ somme des résidus des expressions ^{z)f{z)^
cp (>z) . I
-^- — ~i relatifs respectivement aux points singuliers des fonctions /( ^ ) et -j- — r •
cî-dessus, en utilisant le dernier théorème du n** 17,
Considérons encore le cas où f{z) est une fonction impaire,
f(z ) telle que le quotient :^-^^^ tende uniformément vers zéro pour
o ^ tj> ^ 211 lorsque v croît indéfiniment. Je dis que le résidu intégral
de "^ ^ se réduit à zéro, de sorte qu'on pourra appliquer la for-
mule (24) en y faisant A = o. En effet, on a
et, sous la condition indiquée, cette dernière expression a évidemment pour limite o lorsque v tend vers l'infini.
Dans le cas où f{z) n'admet que des pôles simples, a^ «o, . . ., ^v? • • •? on aura
^ X — Z ^mi X — «v '
Av étant le résidu de f{z) relatif au pôle a^. Mais il importe de remarquer que, dans cette série, on doit réunir les termes en groupes comme l'indique l'égalité (2), c'est-à-dire en comprenant dans un même groupe les termes provenant des pôles compris entre deux cercles consécutifs dans la suite c,, C2, . . ..
