Appliquons les considérations précédentes à la fonction

D^ simr2

f{z) = 71 COtlT^ == r

simzz

La fonction sinirs admettant les points i?=o, ±1, z!z2, ... comme zéros simples, ces mêmes points seront, d'après le n° H, pour y(^) des pôles simples de résidu i. La fonction y*(^) est d'ailleurs impaire et, d'après la note de la page 82, son module

restera au-dessous d'une limite finie sur les cercles Cy, si l'on prend

On peut donc appliquer la formule (24) en y faisant A =: o, et

l'on trouve ainsi la formule connue

cotita7= - +^, ( — ^ i î — ) = - -Haa?V — --^ — -

Soit, en second lieu,

En prenant rv=( 2 V — i)tc, nous savons, d'après la page 34, que le module |/(^v) I reste au-dessous d'une limite finie sur les cercles Cv, et que l'égalité limy(.5v) = o est vérifiée uniformément pour

et pour

quelque petit que soit s. On aura donc l'égalité (24) avec A= o, ce qui donne

= lim >^ r- (o<a<i).

Si a = o, on aura

T 3 ir lim/(^v)= — ' pour ~*-i-e<4'<-; e»

V = oo

les autres conditions étant les mêmes que ci-dessus. Dans ce cas, on doit donc appliquer l'égalité (25) en y faisant A = o, B = — i , et l'on trouve ainsi

= 1 haa?

e^ — 1 2 X ,Arf a?*-i- 4"^^*^*

Comme dernière application, proposons-nous, en suivant toujours Cauchy, de décomposer la fonction entière

F(^) = sin^ — az cos>5,

où a désigne une constante, en un produit de facteurs primaires. A cet effet, mettons F(z) sous la forme

F(z) =-— azcos^f 1 — \

APPLICATIONS DIVERSES DU CALCUL DBS RÉSIDUS. il

el décrivons, de l'origine comme centre, des cercles c^ de rayons vTw (v = I, 2, . . .). Dès que v dépassera une certaine valeur Vq, on aura {Cf, la note page 82)

tangz az

< I sur Cv,

et il en résulte, d'après le théorème de la page 22, que la fonction F(z) a, dans le cercle Cy, autant de zéros q^e la fonction z cos5, c'est-à-dire 2v-f-i zéros. Donc F(z) admet, en dehors de l'origine qui en est un zéro simple si l'on suppose a 7^ i , une infinité d'autres zéros, deux à deux égaux et de signes contraires, que nous

désignerons par dzXj, ±^2, ..., =i= ) vj D'ailleurs, pour v >Vo,

les zéros ± Xy seront compris entre les cercles Cv i et Cy. Cela posé, formons la dérivée logarithmique de F (5) :

I* {z) __ (1 — a)cosz -+- az smz __ az F(^) sin-s — azcosz ~~ tang«

az

Cette dernière expression met en évidence que le module de

„. . reste inférieur à une quantité finie sur les cercles Cy, au moins

pour v^Vo, et, comme c'est d'ailleurs une fonction impaire de s, les résultats établis au n° 19 nous permettent d'écrire

FV) F(^)

X A^ \x — Xy a7-i-Xy/

En intégrant cette égalité et en observant que F'(o) = 1 — «, on en déduit l'expression cherchée

sin^r — aa?cosa7 = (i — «)iP I |(i — rj)'

21 • Si les considérations qui précèdent ne s'appliquent pas à la fonction donnée y(>s), il sera parfois possible de trouver une fonction rationnelle ou méromorphe ^^(-s), se réduisant à l'unité pour j5 = I et telle que les conditions énoncées au n® 19 soient vérifiées

pour le produit/(5) ^( - j* quel que soit .r ('). Le résidu intégral de l'expression

aura alors une valeur finie qui dépendra en général de a?, ç(^)9 et, comme le résidu de cette expression au point 5 = ^ est égal à f{x)^ on en déduit '

Supposons par exemple qu'il soit possible de choisir les cercles Cy de telle sorte que l'égalité

hm — TT- = o,

où p désigne un entier positif, ait lieu uniformément pour

o^ <j;^ 2ir.

Dans ce cas, il suffit de prendre ^( 3) ^ z~p^ car l'expression (26) devient alors

zP z X

et, en vertu de l'hypothèse admise, elle aura donc zéro pour résidu intégral, quel que soit j?. Par suite, l'égalité (27) nous donne

^ ^ ^ K^ X — z \ zP )

Admettons en particulier que les pôles a^, «2, ... de f{z) soient tous simples et distincts de l'origine, et soit Av le résidu du pôle a^,. Dans ce cas, le résidu de l'expression

XP f{z) /•/ \ / ' ' ^ ^P~

X — z ZP

-^^ ^\X — Z Z Z^ ZP

(') Cauchy a fait cette remarque {Œuvres, série I, t. VIII, p. ii^, 38i), sans toutefois en tirer grand profit. Pour le sujet que nous traitons ici, voir Her- MiTE, Cours d'Analyse, 4* édition, lo" Leçon; Picard, Traité d'Analyse, t. II, Chapitre VI; Borel, Leçons sur les fonctions méromorphes. Chapitre IV.

relatif au pôle a^t est égal à

ky» / X\P . f \ I X XP"^

( — ) sAv( 1 h— r -\-,.,-^ —

x — ay\ay/ \x — av «y «v «v

tandis que son résidu à l'origine est, d'après l'égalité (7), page 9,

de sorte que la fonction /(a?) sera représentée par l'expression

Dans cette dernière somme, on doit d'ailleurs réunir les termes en groupes comme nous l'avons expliqué plus haut.