III. — Calcul de quelques intégrales définies
22. Le calcul des résidus constitue la source naturelle des intégrales définies, et Cauchy en a tiré des méthodes générales qui lui ont fourni toutes les intégrales obtenues antérieurement et une multitude d'intégrales nouvelles (*). Nous devons nous borner ici à rappeler brièvement les plus importantes de ces méthodes, en les illustrant par quelques exemples caractéristiques.
Nous commençons par tirer de la formule connue
quelques résultats dont nous aurons à faire usage plus loin.
Posons ^ = pe'+, et considérons l'intégrale / e~^* dz étendue au contour du secteur formé par Taxe réel positif, le rayon d'argu-
(') En dehors du Mémoire déjà cité de l'année i8i4) on consultera en particulier : Journal de VÉcole Polytechnique, Cahier XIX, 1828, p. 571-592 ; ÛFi/ires de Cauchy, série II, t. VI, 1826, p. 256-285, et, avant tout, l'Ouvrage intitulé Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires (1825), dont une traduction allemande vient d'être publiée par M. Stâckel.
menl tl = -, et l'arc S du cercle | ^ | = R compris entre ces deux
droites. La valeur de cette intégrale est égale à zéro, quelque grand que soit R, puisque la fonction e"'* est partout holomorphe. Or je dis que V intégrale prise sur l'arc S s'évanouit lorsque R croit indéfiniment. En effet, le module de cett'fe intégrale est inférieur à
tZ TZ
et^ en désignant par a un nombre positif inférieur à —, oïi a expression qui s'annule évidemment pour R = oo, et, d'autre part,
ir iz
^ siwaj^ ^ ^ Rsma
d'où résulte la proposition énoncée.
Par suite l'intégrale (i), prise le long de l'axe réel positif, aura la même valeur que si l'on y prend pour chemin d'intégration le
rayon d'argument j» et, en posant dans ce dernier cas ^ = e * p, d'où z^= îp2, on aura donc
f 6-^9' dp = e * ^y
ou encore, en séparant les parties réelles et imaginaires,
j cos(p»)â?p=y sin(p2)t;p = i^^.
De l'égalité (2) on déduit, en remplaçant p par ait -\ — 5 j» et, en ajoutant à cette égalité celle qui en résulte en changeant h
en — 6, on obtient une formule qui nous sera utile :
er^a.H'^ cos ihtdt= - — e
la
23. Voici maintenant une méthode aussi simple que féconde, et dont Cauchy a fait un usage continuel dès ses premières recherches sur ce sujet. Supposons que la fonction /(<s) soil uniforme et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le demi-plan P| situé au-dessus de l'axe réel, en étant d'ailleurs holomorphe sur cet axe, et soit R un nombre positif assez grand pour que les points singuliers en question soient tous intérieurs au cercle décrit de l'origine comme centre avec le rayon R. En désignant par Cr l'arc de ce cercle compris dans le demi-plan Pi, on aura alors, par le théorème fondamental du calcul des résidus,
f f{z)dz^ ff(z)dz = 2i:if {/iz}l
et, dans les cas où est vérifiée la condition
(4) lim f/(z)dz=o,
R = « Jr.
Cb
on en conclut, en faisant tendre R vers l'infini,
(5) f ,f{z)dz = 2T.ir (/{Z)].
On trouverait de même, sous des conditions analogues,
(5') f fiz)dz=-2^ir^^{f{z)],
P2 désignant le demi-plan situé au-dessous de l'axe réel. La condition (4) est certainement remplie si l'égalité
(6) lim R/(Re'4') = o
R=ao
a lieu uniformément pour o£<j>^7r. Il en résulte, en particulier, que la formule (5) est applicable toutes les fois que /(z) est une fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point
4t) CHAPITRE II.
à rinfini comme zéro du second ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme
où 2|, Z2j . . . sont les affixes de points situés au-dessous de l'axe réel, et où la partie réelle de la somme ai + a2 + . . . est inférieure à l'unité (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme Pi + ^2 H- • • • est négative).
Mais l'hypothèse (4) est encore vérifiée si l'on a
(8) lim f R\/{Rei^)\d^ = o,
condition qui est évidemment plus générale que (6). On en déduit, en particulier, que la formule (5) est applicable pour
/{z) = ei^^o{z), si l'on suppose la constante a positive et l'égalité lim o(Re'+) = o
R=:oo
vérifiée uniformément pour o^tj^^ir, o(z) jouissant d'ailleurs, dans le demi-plan P| et sur l'axe réel, des propriétés indiquées au début de ce numéro.
En effet, en désignant par e(R) le maximum de |cp(Re'+)| pour o ^ tj) ^ TU, on aura
Or l'intégrale qui figure au second membre, et qui peut s'écrire
reste au-dessous d'une limite finie quel que soit R, car, en désignant par b un nombre positif inférieur à — * on a
TZ
r i\ g-nRsintj. ^^^ flL^b^K e-«RsIn^,
expression qui s'annule pour R = oo, et d'autre part
/ R e-''R*ïn+ û?iK r / e-«R»"»+Rcosttc?<t = r (i — e-''»^"'^^).
J^ ^ cos b J^ ^ ^ a cos b '
Comme d'ailleurs, par hypothèse, e(R) s'évanouit pour R = oo, on voit bien que la condition (8) est remplie et que, par suite, la formule (5) est applicable dans l'hypothèse considérée.
On pourra, par exemple, choisir pour 0(2) une fonction rationnelle, holomorphe sur l'axe réel et admettant le point à l'infini comme zéro du premier ordre (ou d'ordre supérieur), ou bien le produit d'une telle fonction par une expression de la forme (7), les points ^1, ^2, ... étant situés dans le demi-plan P2, et la partie réelle de ai + a2+. • • étant inférieure à l'unilé (ou même égale à l'unité, si la partie réelle de la somme ^i + ^2 + » •• est négative).
On trouve, par exemple, en désignant par r une constante dont la partie réelle est positive.
et, en formant la somme et la différence de ces deux égalités, on en déduit les formules de Laplace
Jr* z sinaz , C
rcosaz , tz
— : dz = - e-«''.
24. Voici une autre méthode générale dont Cauchy (*) et Hermite (2) ont fait un usage étendu, et sur laquelle nous aurons d'ailleurs à revenir au Chapitre suivant. En posant 5 = 7 + iV, admettons que la fonctiony(3) soit uniforme et ne présente qu'un nombre fini de points singuliers dans le domaine B|, défini paries inégalités a < T < 6, ^ > o, en étant d'ailleurs holomorphe sur le contour de ce domaine, et admettons en outre que la condition
(9) lim /(t -h ï7) = Hi, (Hj = const.),
soit vérifiée uniformément pour a^T^è.
( *) Voir en particulier Œuvres, série I, t. I, iSaj, p. 235-285. (^) Cours d'Analyse, i3« Leçon.
Prenons un nombre positif 5 assez grand pour que les points singuliers àe f{z) compris dans B| soient tous intérieurs au rectangle retranché de ce domaine par la droite ^ = 8. En intégrant la fonction y^^) autour du périmètre de ce rectangle, on aura l'égalité
f f(^)dz= if [f(a-^it)-fib-^it)]dt
on en déduit, en tenant compte de l'hypothèse (g),
f /(t) dk = i f* [/(a + it) -/{6 H- it)] dt
Dans le cas où la fonction y*(^) admet la période b ^- a^ le premier terme disparaîtra du second membre de cette formule.
En supposant des conditions analogues à celles qui précèdent vérifiées dans le domaine B2, symétrique de B< par rapport à l'axe réel, on trouve une formule analogue à (11) et que nous nous dispenserons d'écrire ici.
Appliquons cette méthode au cas où l'on a
u étant une quantité réelle et positive. La fonction /(^•) admet pour pôles les points
z = i logw -I- 2irv (v = o, dr I, ± 2, . . .).
Donc, si w>i, le pôle ilogu sera intérieur à B|, tandis que ce domaine ne comprendra aucun pôle de f(z) lorsque u<C.i- Il en. résulte que le dernier terme de l'expression (i i) est, dans le premier cas, égal à — et, dans le second cas, à zéro.
D'autre part, on trouve
f(a-^-it)-f(b + it) = - ^^,
d'où il résulte, par un calcul élémentaire, que le premier terme de
l'expression (i i) a pour valeur
log(l-f- M).
Comme, d'ailleurs, Hi = o, nous pouvons donc conclure de la formule (il) que l'intégrale
r^"" zdz
. — fZ
est égale à log l ) ou à - — log ( j » suivant que l'on a
1/ > I ou w << 1 , et, en séparant les parties réelle et imaginaire, on en déduit pour l'intégrale
r"" z sir 7 u^—iu
z sinz dz
cos^
la valeur - log • si w > i , et la valeur - log(i -}- w), si w << i .
Calculons encore, par la même méthode, la valeur de l'intégrale
(i2) / log(simrz)û?z,
qui nous sera utile plus loin, et, dans ce but, appliquons la formule (lo) en y faisant a = o, è = i , /(5)=: log(sin7:^). On s'assure en effet aisément que cette formule reste applicable lorsque la fonction f{z) devient infinie aux points a et 6, pourvu que son ordre d'infinitude y soit inférieur à l'unité, comme dans le cas présent. On trouve, par une discussion élémentaire,
fia -H It) —f{b-h It) = log -: r— • =-|- TTt,
d'où il résulte
i f [/(a-h it)—f(b-hit)]dt= — TzB,
et, d'autre part, on déduit de l'égalité simzz = — .(^'^'^ — e"*"'*)
(') Pour éviter des redites iacessaiites, nous conviendrons dès maintenant de désigner indin*éremment par e(^), 6(6), ..., toute fonction tendant vers zéro lorsque /, 6, ... tendent vers l'infini.
5o CHAPITRE II.
d'où
TU l
/( T -f- t8 ) = Iog*>. -h ttS — ir ÏT -h £ ( 8 )
et, par suite,
//(t -4- i^)eh = irS — log2 -h e(o).
Comme, d'ailleurs, dans l'hypothèse actuelle, le dernier terme de la formule (lo) est nul, nous pouvons en conclure, en faisant tendre 8 vers l'infini, que la valeur de Vintégrale (12) est égale à — log 2 .
