La limite du (/uotient de deux nombres variables est
éifale au quotient de leurs limites, pourvu que la limite du diviseur soit différente de zéro.
Supposons d'abord que les deux nombres variables aient pour limites des nombres positifs.
Désignons ces limites par a et 6 et le quotient considéré par
on a
a -4- a a Oa -— «p
Par hypothèse a et jS tendent vers zéro, on pourra donc toujours satisfaire aux inégalités
lai <£ lM<^
dans lesquelles s désigne un nombre positif donné, aussi petit que Ton veut, et b' un nombre positif fixe, inférieur à b.
LIMITES jq
Quand ces conditions sont remplies, on a :
et, comme le second membre peut être pris aussi petit que l'on veut, cette inégalité exprime que 1-3^3 a pour limite ?•
Nous avons supposé a et 6 positifs; si cela n'avait pas lieu, on modifierait le raisonnement de la manière suivante :
Soit b' un nombre positif inférieur à | 6 | ; à partir du moment où l'on aura
et
on aura aussi
et la proposition à démontrer se conclut immédiatement de là,
13. — Pour démontrer qu'un nombre variable x tend vers une limite, on s'appuie souvent sur les propositions suivantes, qui sont des conséquences d'un postulat déjà admis (n° 6).
Si un nombre variable x va constamment en croissant (ou du moins ne décroît jamais), et si ce nombre x reste plus petit au un nombre fixe A, // tend vers une limite.
De même, si un nombre variable x va constamment en décroissant (ou du moins ne va jamais en croissant), et si ce nombre x reste plus grand quun nombre fixe B, il tend vers une limite.
Prenons par exemple le premier énoncé. Si l'on fait correspondre h chaque valeur de x un point M d'abscisse x sur une droite indéfinie X'X, ce point M se déplace constamment de gauche adroite, puisque x ne peut diminuer. D'ailleurs ce point M reste toujours à gauche du point d'abscisse A. Il tend donc vers un point limite L; si a est l'abscisse de L, la différence a — X tend vers zéro, puisque ce nombre a — x est la mesure du segment ML.
