LIMITES

9. — La valeur absolue d'un nombre algébrique a s'appelle aussi le modale de ce nombre et se représente par la notalion \a\. Ainsi l'on a

I a I = a, si a est positif,

1 a I = — a, si a est négatif,

l6 LIVRE I. CHAPITRE I

et, dans les deux cas,

Quand on ajoute deux nombres algébriques a et 6, le module de leur somme | a + 6 | est égal à la somme de leurs modules I G I -h I 6 |, lorsque ces deux nombres sont tous les deux positifs ou tous les deux négatifs. Lorsque l'un des deux nombres est positif, l'autre négatif, le module de la somme est au contraire égal à la différence des modules des deux nombres. On a donc toujours \ a\ — i^I<ia-Hfci<|a|-f-|t|.

En raisonnant de proche en proche, on en déduit bien aisément que le modale d'une somme algébrique aH-6-hc -+-...-+-/ est inférieur ou au plus égala la somme des modules de ses différents termes \ a\ ~\- \ b \ -^ ... ^ \ l\.

10. — On dit qu'un nombre variable x a pour limite un nombre fixe a, ou tend vers a, lorsque la valeur absolue de la différence x — a finit par devenir et rester plus petite que tout nombre positif donné. Ainsi on démontre en trigonométrie que

le rapport tend vers l'unité lorsque l'arc x tend vers zéro. Cet

énoncé signifie qu'étant donné un nombre positif s, aussi petit qu'on le voudra, la différence

est plus petite que c pour toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est plus petite qu'un nombre positif a choisi convenablement.

La limite de la somme d\m nombre fini de grandeurs variables est égale à la somme de leurs limites.

Considérons p grandeurs variables A, J3, C, ... L, qui tendent simultanément vers les limites a, />, c, — /. Si l'on appelle a, [^, y, .... ). les différences des grandeurs proposées

avec leurs limites, on a :

LIMITES I n

En additionnant ces égalités et désignant par S la somme des grandeurs variables par s celle de leurs limites, il vient :

Soit c la valeur absolue de celle des différences a, ^ X,

qui est la plus grande en valeur absolue, la somme

sera moindre que pi. Or, le nombre p restant fini et la quantité c devenant plus petite que toute quantité donnée, puisque toutes les différences tendent vers zéro, le produit pi deviendra aussi plus petit que toute quantité donnée ; donc la somme S a une limite et cette limite est s.

Mais on ne peut appliquer cette proposition que si le nombre des parties de la somme est fini. Soit, par exemple, la somme des y) quantités

Chacune d'elles tend vers zéro, quand p augmente indéfmi-

ment ; mais le nombre des parties devenant infiniment grand^

on ne peut plus dire que la limite de la somme soit la somme

des limites, ce qui donnerait zéro ; et, en effet la somme étant

constamment égale à i ne peut avoir pour limite zéro.

11. — La limite (liin produit d'im nombre fini de facteurs variables est égale au produit de leurs limites.

En conservant les mômes notations que précédemment, on a :

Multiplions les deux termes de la première égalité par BC ... L, ceux de la seconde par aC ... L, ceux de la troisième abT) ... L, ..,, enfin ceux de la dernière par abc ... k, ce qui donne

ABC... L — aBC ... L = aBC ... L, rdîC ... L — abC ... L = ?aC ... L, abC ... L — abc .., L = -^ah ... L,

ahc ... /iL — abc ... Id = \ab ... A:;

Briot — Leçons d'Algèbre

l8 LIVRE I. CHAPITRE I

Si Ton ajoute toutes ces égalités, les quantités intermédiaires se détruisent, et il vient

ABC ... L — abc ... / = «BG ... L -h ?aG ... L + ...

Les valeurs absolues des quantités variables A, B, C, ... et celles des quantités fixes a, b, c, ... étant moindres qu'un nombre positif fixe M, la valeur absolue de chacun des termes du second membre est plus petite que sM^' ^ \ £ étant la valeur absolue de celle des différences a, j'S, ... )., qui est la plus grande en valeur absolue. La valeur absolue du second membre est donc moindre que pM^"', c'est-à-dire que le produit du nombre fini }M^ ' % par le facteur c qui tend vers zéro. On en conclut que le produit ABC ... L tend vers la limité abc ... L

La démonstration suppose essentiellement que le nombre des

(I \'" ' "^ m) ' ^^"^ laquelle m est

un nombre entier, désigne le produit de jn facteurs ayant tous pour limite l'unité quand m augmente indéfiniment. Le produit des limites des facteurs est donc aussi égal à i ; or nous démontrerons plus loin que le produit considéré tend vers une limite plus grande que i .