Théorème III. — On élève un radical à une certaine

22 LIVRE I. ClIAriTRE II

puissance en élevant à cette puissance la quantité placée sous le radical.

On a, en eiïet, en vertu du théorème I,

[ya^ z=\Ja\/a\/a

Remarque. — L'expression \/a"' indique qu'il faut élever le nombre a à la m" puissance et extraire la racine n" du résultat. Lorsque l'exposant m de la quantité placée sous le radical est divisible par l'indice n du radical, on peut extraire la racine ; il suffit de diviser l'exposant par l'indice du radical. En effet, soit m = np, on aura

car, si l'on élève la quantité ai' à la puissance n, on reproduit a" p.

18. Théorème IV. — On extrait la racine d'un radical en multipliant l'indice du radical par l'indice de la racine que Von veut extraire.

Je dis que

\J\Ja= 'Va- En effets si on élève le premier membre à la puissance m, on trouve \Ja ; si l'on élève ensuite ce résultat à la puissance n, on obtient a : mais ceci revient à élever le premier membre à la puissance mn. Ainsi, le premier membre est une quantité qui, élevée à la puissance mn, reproduit a ; c'est donc la racine mn'' de a.

19. Théorème V. — On ne change pas la valeur d\m radical quand on multiplie ou quand on divise par un même nombre l'indice du radical et l'exposant de la quantité placée sous le radical.

Soit le radical

Je dis qu'en multipliant par un même nombre entier p l'in-

EXPOSANTS FRACTlO?mAIRES 23

dice n et l'exposant m, on obtient un second radical

égal au premier. En effet, d'après le théorème précédent, le second radical peut s'écrire

Mais on a (n° 17).

donc

np / ■ n/-

Corollaire I. — On simplifie un radical en divisant l'indice et l'exposant par leur plus grand commun diviseur. Ainsi

Corollaire II. — On réduit plusieurs radicaux au même indice en prenant pour indice commun le produit des indices ou plus simplement leur plus petit multiple. Cette réduction est nécessaire quand on veut multiplier ou diviser deux radicaux d'indices différents. Ainsi