EXPOSANTS FRACTIONNAIRES
puissances entières a'" et a" d'un même noml)re a, il suffît d'ajouter les exposants, ce qui donne a'" '^ ". La même règle s'applique aux exposants fractionnaires.
Soient en efïet m = -, n =|/; les deux puissances fractionnaires «^ et a? représentent les radicaux {/a^' et '{/ai''; pour multiplier ces deux radicaux, on les réduira d'abord au même indice, ce qui donne
qr / — - '11'/ — — 'J'i' / — ; ;- ^^, -.—-- -
\/ai"i X Yai'''^= \/ai"i' X ni''i = \^/ ai"i + i" 'i .
Or, ce dernier radical, produit des deux premiers, est représenté par le symbole
rq-^
piq
ou
on a donc
rt'" X «" = «'" + ",
quels que soient les exposants m et n, entiers ou fractionnaires.
Exemples ;
a'^ = ci-,
23. Division. — La règle de la multiplication étant étendue aux exposants fractionnaires, celle de la division l'est par là même. On a, en effet.
m et n étant des exposants entiers ou fractionnaires, dont le premier est plus grand que le second ; car, si l'on multiplie le quotient par le diviseur, ce que l'on fait en ajoutant les exposants, on reproduit le dividende a'". Ainsi, pour diviser l'une par l'autre deux puissances quelconques d'un même nombre, il suf-
fira de retrancher l'exposant du diviseur de celui du dividende.
Exemples : i° — = a%
24. Puissance. — Nous avons démontré que l'on élève un nombre a h deux puissances entières successives m et n en élevant ce nombre à une puissance ayant pour exposant le produit mn des exposants (n° 14). La même règle s'applique aux exposants fractionnaires.
Soient en effet //i = ^^ , n r= ^, ; l'expression
(a'»)" ou [a'ij'i' ■
signifie
m" ou {/({/«.)'".
Il faut élever le radical {/^^ à la puissance ;/ et prendre la racine c/' du résultat. On sait (n« 17) que l'on élève un radical à une puissance en élevant à cette puissance la quantité i)lacée sous le radical ; on a donc
{if^-Y=i/^'>
et par suite
v(v/-)"' = Vi/-"'
On sait d'autre part (n" 18) que Ton extrait la racine d'un radical en multipliant l'indice du radical par l'indice de la racine ce qui donne
Mais ce dernier radical est représenté par le symbole a m' ou
