EXPOSANTS NÉGATIFS

25. — Nous savons que pour diviser l'une par l'autre deux puissances d'un même nombre, il suffît de retrancher l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, lorsque l'exposant du diviseur est plus petit que celui du dividende.

Si l'on applique la même règle, lorsque l'exposant du diviseur est plus grand que celui du dividende, on obtient un expo-

. a* , sant négatif. Soit le quotient -7 ; l'exposant du diviseur étant

plus grand que celui du dividende, la division est impossible ;

mais, si l'on applique la règle énoncée plus haut, on est conduit

au symbole a '' ; le quotient proposé-^, simplifié, devient -3 ;

ainsi le symbole a"~ ' peut être adopté comme représentant le

quotient -3 .

En général, on est convenu de représenter le quotient -^ , dans

lequel l'exposant m est quelconque, entier ou fractionnaire, par le symbole a~"\ L'exposant négatif remplace ainsi le signe de la division.

Nous ferons voir que les règles étabhes précédemment pour le calcul des exposants positifs s'étendent aux exposants négatifs.

26. Multiplication, — Pour multiplier deux puissances a'» et a" d'un même nombre, il suffit de faire la somme algébrique

des exposants, quels que soient ces exposants, positifs ou négatifs.

1° Considérons d'abord le cas où l'un des exposants m est positif, l'autre n négatif. Posons n — — /i', les nombres positifs m et n' étant quelconques, entiers ou fractionnaires. Puisque

le symbole a"""' représente -^, , on a

mais le quotient —, est représenté, dans tous les cas, que m soit

plus grand ou plus petit que n' , par le symbole a'"""', on a donc

L'exposant du produit est la somme algébrique des deux exposants.

2° Supposons maintenant les deux exposants négatifs, et soient m = — m', n = — n' . Puisque les symboles a""""' et

a-"' désignent les quotients "157/ et ^, on a

Mais cette dernière expression est représentée par a-(»''+"'> ou ^-mi-n'^ On a donc

rt'" X a" r= a -'"'-"' = «"' + ".

L'exposant du produit est encore la somme algébrique des exposants.

Exemples : i" a"^ x «~^ = «%

27. Division. — La règle de la multiplication étant étendue aux exposants négatifs, celle de la division l'est par là même. Pour diviser l'une par l'autre deux puissances quelconques d'un

EXPOSAISTS NEGATIFS 'iQ

même nombre, il suffit de retrancher algébriquement l'exposant du diviseur de celui du dividende ; car en multipliant le quotient ainsi obtenu par le diviseur, on reproduit le dividende. Remarquons que ceci revient à transformer le diviseur en multiplicateur par le changement de signe de son exposant.

Exemples :

28. Puissance. — Pour élever un nombre à deux puissances successives, il suffit de multiplier entre eux les deux exposants, quels que soient leurs signes.

i^ Considérons d'abord le cas où le premier exposant m est négatif, le second n positif, et soit m = — m' ; on a

mais ce résultat peut être représenté par a ~'"'" ou par a'"''; ainsi

2° Supposons le premier exposant m positif, le second n négatif, et soit n == — n' . L'expression (a'")~"' représente le quotient

qui est égal à -7;^, et qui peut être représenté par a~'""', ou par a'"". On a donc

3^ Supposons enfin les deux exposants négatifs et soient m = — m', n = — n' . L'expression (a""'')""' représente le quotient

et l'on a toujours

Ainsi, dans tous les cas, l'exposant du résultat est le produit algébrique des deux exposants, conformément à la règle des signes.

Exemples: 1° («~^)" = a~^,

Tout ce que nous avons dit sur le calcul des exposants fractionnaires et négatifs peut se résumer en deux règles fondamentales

m et n désignant des exposants quelconques, entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs.

Avant de définir le symbole a^, lorsque l'exposant x est un nombre incommensurable, nous établirons quelques propositions auxiliaires.

29. Lemme I. — Les puissances entières successives d'un nombre plus grand que l'unité vont en croissant et deviennent plus grandes que toute quantité donnée.

Soit a un nombre positif supérieur à l'unité. On voit d'abord que les puissances successives vont en croissant ; car on obtient a'" "^^ en multipliant a'" par a; le multiplicateur a étant plus grand que l'unité, le produit (z"' + ^ est plus grand que le multiplicande a'". Je dis maintenant que les puissances de a augmentent au delà de toute limite. Posons a = 1 -f- a ; on a d'une façon générale,

(l -{- a)'« > I + ma.

EXPOSANTS INCOMMENSURABLES 3l

En effet, cette inégalité est exacte pour m = 2, puisque (i -+- a)^ = i -h 27. -h a'". Pour démontrer qu'elle est générale, il suffit de vérifier que, si elle est vraie pour une certaine valeur entière de m, elle est encore vraie quand on augmente cet exposant d'une unité. Or on a, en supposant

(i -h a)'« > I + mx,

et par suite

Pour rendre la quantité a'" plus grande qu'une quantité donnée A, il suffit évidemment de rendre la quantité i + ma plus grande que cette quantité ; on déterminera donc l'exposant m de manière à satisfaire à l'inégalité