I -t- nn ;> A ; d'où

Ainsi, lorsque l'exposant m surpassera , il est certain que

la puissance a'" sera supérieure à la quantité A, si grande qu'elle soit. Donc les puissances successives du nombre a plus grand que l'unité augmentent à l'infini.

Soit, par exemple, a = 1,1 ; on peut affirmer que œ" surpassera I 000 si m est plus grand que '--' ou que 9990. Mais

on n'a pas ainsi les plus petites puissances de a supérieures à I 000.

30. Lemme il — Les puissances entières successives d'un nombre plus petit que l'unité vont en décroissant et tendent vers zéro.

Un nombre a plus petit que i peut être représenté par ^ ,

le nombre a' étant plus grand que i , et l'on a «'" = ,„^ . Quand

l'exposant m croît indéfiniment, le dénominateur augmentant à l'infini, la fraction diminue et tend vers zéro.

31. Lemme III. — Les racines d'un nombre plus grand que r unité sont pins grandes que limité ; elles diminuent à mesure que l'indice du radical augmente et tendent vers Punifé.

Nous remarquons d'abord que, lorsqu'un nombre positif a est plus grand que l'unité, sa racine b = y/a est aussi plus grande que l'unité ; car si le nombre b était plus petit que un, sa puissance b" serait plus petite que un, et, par conséquent, ne serait pas égale à a.

Considérons maintenant deux racines consécutives

je dis que la racine 6' est plus petite que b. On a, en effet,

et, par suite,

Puisque la racine b' est plus grande que un, le rapport ., est

aussi plus grand que un, et, par conséquent, b' est plus petit que b.

Nous allons démontrer maintenant que l'on peut rendre l'indice du radical assez grand pour que la valeur de la racine surpasse l'unité d'une quantité moindre qu'une quantité donnée a, aussi petite qu'on voudra. Il s'agit de déterminer n de manière que l'on ait

ou

Or, d'après le lemme I, on peut toujours déterminer l'exposant n de manière que la puissance (i -+- a)" surpasse le nombre donné a. Par exemple, si l'on veut que yA^ diffère de l'unité de

moins de o,ooi, il suffira de rendre n i)lus g-rand que———,

^ ^ ^ o,ooi

c'est-à-dire plus grand que i ooo. Ainsi, quand n augmente à rinfini, y/a tend vers un.

32. — Lemme IV. — Les racines d'un nombre plus petit que r unité sont plus petites que F unité; elles augmentent avec T indice du radical et tendent vers l'unité.

Si l'on pose a = -, , a' étant plus grand que l'unité, on a

\/a = — — ; quand n augmente indéfiniment, le dénominateur

diminue, et, par conséquent, la fraction augmente et tend vers l'unité.

Corollaire I. — Toute puissance fractionnaire d'un nombre plus grand que un est plus grande que un ; toute puissance fraC" tionnaire diin nombre plus petit que un est plus petite que un.

Car a" signifie ya'" ; si a est plus grand que un, a"' est plus grand que un et par conséquent ^a'" l'est aussi.

CoROLLAHiE II. — Toutc puissaucc fr actionnaire d'un nombre positif a tend vers l unité, lorsque l'exposant tend vers zéro.

Soit ^ une fraction > o qui tend vers zéro ; son inverse ^ grandit indéfiniment, et par suite finit par rester supérieur à tout

nombre entier donné. On peut donc écrire - <^ - , n étant un

nombre entier qui augmente indéfiniment. Si a est >> i, on a d'une part a ^ > i ; d'autre part on peut écrire

al = a. X a

l'exposant étant négatif, a'^ " est plus petit que l'unité, et

l'on a la double inégalité.

i <ai <: Sja,

et par suite aî tend vers un, puisque {/a tend vers un. On raisonnerait de la même façon si a était plus petit que un, ou

1 exposant - negatii.

33. — Supposons, pour fixer les idées, a;>i, et soit /un nombre irrationnel positif. Ce nombre /peut être défini d'une infinité

Bftior — Leçons d'Algèbre 3

de manières au moyen de deux suites de nombres rationnels

l'une croissante, l'autre décroissante, et telles que la différence Sn — c/.n tende vers zéro quand n augmente indéfiniment. Considérons les deux suites de nombres.

(II) a^i, a^-' a?^-

la première est une suite croissante, la seconde est une suite décroissante. En effet, on peut écrire par exemple

l'exposant a^ — «i est positif, et d'après Je corollaire I du Icmme IV, le facteur a^^— «i est plus grand que un. D'ailleurs si N désigne un nombre entier plus grand que tous les nombres 7.^, a^, «n, on a

quel que soit n, et par conséquent les nombres de la suite (I) tendent vers une limite / (n" 13). On démontrerait de même que les nombres de la suite (II) tendent vers une limite /'. D'ailleurs la différence

tend vers zéro quand n grandit indéfiniment car la différence fi^ — a„ tend vers zéro, et le facteur a^^ est plus petit qu'un

nombre fixe a^. On a donc l' =: l.

Cette limite est la même, quelle que soit la suite de nombres rationnels dont on parte pour définir le nombre irrationnel /. En effet, supposons par exemple que l'on remplace les nombres de la première suite par une nouvelle suite croissante de nombres rationnels

Les nombres de la suite croissante

ont encore pour limite /, car la différence

J'"=.a^" icc"'^-^"

tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, la différence a,', — [ti,^ tendant elle-même vers zéro.

C'est cette limite / que l'on représente par le symbole a'.

Si l'on a un nombre irrationnel négatif — /, on définira de môme le symbole a"' par l'égalité

Il résulte de la définition même que toutes les propriétés établies pour les exposants entiers ou fractionnaires s'étendent aux exposants incommensurables. Ainsi, a étant un nombre /jo^////, a et [-j deux nombres quelconques, positifs ou négatifs, rationnels ou irrationnels, on a toujours les deux égalités

Si a est plus grand que un, on a

a > I , si a est positif, et ,

a* <; I, si a est négatif.

C'est l'inverse, lorsque le nombre a est plus petit que i.