CHAPITRE III
DIVISION ALGÉBRIQUE
34. Remarques préliminaires. — On appelle polynôme entier en X une somme de termes de la forme Ax^ /> désignant un nombre entier et positif et A une quantilc indtîpendante de x. Les quantités telles que A, par lesquelles sont multipliées les puissances de x, se nomment les coefficients du polynôme.
Le dc^ré d'un polynôme entier en x est l'exposant de la plus haute puissance de x contenue dans ce polynôme.
On dit que deux polynômes entiers en x sont identiques si dans ces deux polynômes les coefficients des mêmes puissances de X sont égaux.
Ordonner un polynôme entier en x suivant les puissances croissantes ou décroissantes de x, c'est ranger les termes du polynôme dans un ordre tel que les exposants de ;/; aillent constamment en croissant, ou constamment en décroissant.
Étant donnés deux polynômes entiers en x ordonnés suivant les puissances décroissantes de x, si on elTectue le produit de ces deux polynômes et si on l'ordonne suivant les puissances décroissantes de x, le premier terme du produit provient, sans réduction, du produit du premier terme de l'un des facteurs par le premier terme de l'autre facteur.
En elTet le produit des deux polynômes est la somme de tous les produits que l'on peut obtenir en multipliant un terme de l'un des facteurs par un terme de l'autre facteur.
Celui de ces produits que l'on obtient en multipliant le pre-
DIVISIO::* ALGÉBRIQUE 87
mier terme de l'un des facteurs par le premier terme de l'autre facteur, contient x à une puissance plus élevée que tous les autres, et ne peut par suite se réduire avec aucun autre.
Le dernier terme du produit donne lieu à une remarque analogue.
DIVISION ALGÉBRIQUE
35. — Etant donné le produit de deux polynômes entiers en x et l'un des facteurs de ce produit, on peut trouver l'autre facteur : l'opération à effectuer se nomme division ; le produit donné, le facteur connu et le facteur qu'il s'agit de déterminer se nomment respectivement dividende, diviseur et quotient.
Division de polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes de X. — Supposons le dividende, le diviseur et le quotient ordonnés suivant les puissances décroissantes de ^.
Le dividende étant, par définition, le produit du diviseur par le quotient, le premier terme du dividende provient sans réduction du produit du premier terme du diviseur par le premier terme du quotient.
D'après cela, le premier terme du quotient s'obtient en divisant le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur.
Le dividende peut être considéré comme la somme des pro-*" duits obtenus en multipliant le diviseur successivement par les différents termes du quotient. Si donc on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, le reste est le produit du diviseur par le quotient diminué de son premier terme.
En répétant le même raisonnement, on pourra déterminer I le second terme du quotient, puis le produit du diviseur par le quotient diminué de ses deux premiers termes.
36. — On est conduit ainsi à la règle suivante : On ordonne le dividende et le diviseur par rapport aux puissances décroissantes de x :
