CHAPITRE III

On divise le premier ternie du dividende par le premier ternie du diviseur, ce qui donne le premier terme du quotient, et on retranche du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient.

On divise le premier terme du reste par le premier terme du diviseur, ce qui donne le second terme du quotient, et fon retranche du premier reste le produit du diviseur par le second terme du quotient.

On continue de la sorte jusqu'à ce que l'on arrive à un reste nul.

Exemple. — Diviser x' — ox' -+- lox' — lox^ -4- ôx- — i par x'^ — 2x -h I.

On dispose ainsi les calculs :

— bx' -f-

lOX^

lo.r- -H 5j- — I

— Sx' -h

lo.'-^ --h 5.x — I 3.r-^

ou, en écrivant seulement les restes successifs et en ne répétant pas les termes non employés du dividende,

Sx' —

'àx-^

Sx

37. — ^Tous avons supposé que l'un des deux polynômes A. était le produit de l'autre, B, par un polynôme entier en x. Supposons maintenant que A et B soient deux polynômes entiers en X, quelconques, le degré de B ne dépassant pas celui de A ; nous pouvons encore appliquer à ces deux polynômes la règle précédente, c'est-à-dire ordonner ces polynômes par rapport

DIVISION ALGÉBRIQUE Sq

aux puissances décroissantes de x, diviser le premier terme de A par le premier terme de B, multiplier B par le terme ainsi obtenu et retrancher le produit de A ; puis diviser le premier terme du reste parle premier terme de B, etc. La suite des opérations se nomme encore division de A par B, A se nomme dividende, B diviseur ; la somme des termes obtenus en divisant le premier terme de chaque reste par le premier terme du diviseur se nomme quotient.

Les degrés des restes successifs vont en diminuant. En effet, pour obtenir un reste quelconque, on retranche du reste précédent le produit du diviseur par un facteur choisi de façon que, dans la différence, les termes de plus haut degré se réduisent. Si on arrête la suite des opérations après avoir obtenu l'un des restes, le dividende est égal au produit du diviseur par le polynôme trouvé au quotient, augmenté du dernier reste ; car, pour retrancher du dividende le produit du diviseur par le quotient, on peut retrancher du dividende le produit du diviseur par le premier terme du quotient, puis retrancher de ce premier reste le produit du diviseur par le second terme du quotient, et ainsi de suite. Or, c'est précisément cette suite de soustractions qui a conduit au reste considéré.

Gomme les degrés des restes successifs vont en décroissant, on parviendra nécessairement à un reste nul ou à un reste de degré inférieur au degré du diviseur.

Si l'on parvient à un reste nul, il existe un polynôme qui, multiplié par le diviseur, reproduit le dividende ; c'est le polynôme trouvé au quotient.

Si l'on parvient à un reste de degré inférieur au degré du diviseur, on peut affirmer que le dividende n'est pas le produit du diviseur par un polynôme entier en x. Mais la suite des opérations qu'on vient d'effectuer a permis de décor?! poser le dividende en deux parties, dont Tune est le produit du diviseur par un polynôme entier en x et l'autre un polynôme entier en x de degré inférieur au degré du diviseur.