Théorème. — Étant donnés deux polynômes ketB entiers

en X, tels que le degré de B est inférieur ou égal au degré de A , on peut décomposer A en deux parties, dont Fune est le produit de B par un polynôme entier en x et l'autre un polynôme entier en X de degré inférieur au degré de B, et cette décomposition nest possible que d'une seule manière.

Pour obtenir une décomposition repondant à la question, il suffit d'ordonner A et B par rapport aux puissances décroissantes de X, de diviser A par B et de pousser l'opération jusqu'à nn reste de degré inférieur au degré de B ; A est égal au produit de B par le polynôme Q trouvé au quotient, augmenté du dernier reste R de degré inférieur au degré de B, c'est-à-dire que l'on a :

A = BQ H- R.

Pour montrer que la décomposition n'est possible que d'une seule manière, supposons que l'on ait trouvé les deux décompositions indiquées par les identités.

A = BQ -+- R A :=r BQ' + IV

Q, Q', R, R' désignant des polynômes entiers en x, et le degré de chacun des polynômes R, R' étant inférieur au degré de B. De ces deux identités on déduit successivement les suivantes :

BQ H- R = BQ' -+- R' et

Si les deux membres de cette dernière égalité ne sont pas nuls identiquement, on est conduit à une absurdité puisque le degré du second membre est inférieur au degré de B et le degré du premier membre supérieur ou égal au degré de B.

Il faut donc que Q et Q' d'une part, R et R' d'autre part, soient d^s polynômes identiques. Donc la décomposition de A en deux parties de la forme considérée n'est possible que d'une seule manière.

Division d'un polynôme entier en x par x — a. 39. Théorème. — Le reste de la division d'un polynôme en-

DIVISION ALGÉBRIQUE 4l

tler en x par x — a s obtient en remplaçant x par a dans le polynôme proposé.

Soit X le polynôme proposé ; ordonnons-le par rapport aux puissances décroissantes de x et divisons-le par x — a. Comme le diviseur est du premier degré, nous pouvons pousser la division jusqu'à un reste indépendant de x, soit R ce reste, Q le quotient.

On a :

Si Ton fait x =z a dans les deux membres de cette identité, on obtiendra le même résultat. Désignons par A ce que devient X quand on y remplace x par a, il vient

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Application. — [x''' — a'"] {m entier) est toujours divisible par X — a. En effet si on remplace x par a dans x'" — a"', on trouve pour reste o.

On peut retrouver ainsi ce résultat : — On sait qu'on a :

Dans cette égalité remplaçons x par - et multiplions ensuite

les deux membres par a"% nous obtenons en changeant l'ordre des termes :

^m — ^Hi __ (^ ^^ [x'"-* -f- ax"'-'^ H- a'"- 2 X + a'"-^].

40. — Loi de succession des coefficients du quotient d'un polynôme entier en x par x — a.

Soit

Aa?'" + Bj*'«-^ h- Cx'"- 2 4- f. Kx H- L

le polynôme proposé, supposé ordonné par rapport aux puissances décroissantes de x. Effectuons, d'après la règle ordinaire, la division de ce polynôme par x — a :

Ax'" -h B X'»-* -i-- G x'«-2 4- ... X — a

-h Aa tL?!" Ax'»-^ -i- B'x'»-- -h C'x'>'-K,.

Le premier coefficient du quotient est A. Dans le premier reste, le premier coefficient est Aa + B. Posons

le second coefficient du quotient est B'. Dans le reste correspondant, le premier coefficient est B'a -f- G. Posons

C' =^ }Va + G,

C'est le troisième coefficient du quotient, etc.

Ainsi : le premier coefficient du qiiolienl est A ; et, si l'on suppose écrits au quotient un certain nombre de termes, pour obtenir le coefficient d\in nouveau terme, on multiplie par a le coefficient du dernier terme écrit au quotient, et on ajoute le premier des coefficients non encore employés du dividende.

Si l'on applique cette règle quand on a obtenu le dernier terme du quotient, on trouve le reste.

Dans l'application de cette règle, il est commode de disposer les calculs comme nous allons l'expliquer sur un exemple. Soit à diviser x^ — 5^' -^ 'jx -{- lo par x — 2 :

Le premier coefficient du quotient est i ; i multiplié par 2 donne 2 qui, ajouté à — 5, donne — 3 ; — 3 multiplié par 2 donne — G qui, ajouté à o, donne — 6 ; — G multiplié par 2 donne\2 qui, ajouté à -h 7, donne — 5 ; — 5 multiplié par 2 donne — 10 qui, ajouté à -i- 10, donne o. -

Le reste de la division est nul et le quotient est :

x^ — Sx- — 6x — 5.

Remarque. — On peut parvenir autrement à la loi dé succession des termes du quotient d'un polynôme entier en x par X — a.

Nous le montrerons seulement sur un exemple :

Soit

X = \x' -h Bx^ 4- Gj- -f- Dx -h E.

Posons

K = \a* + \Sa^ -+- Ga2 + Da -f- E,

DIVISION ALGÉBRIQUE ^3

on aura, en remarquant que a:'" — a'" admet en facteur x — a :

X — R = (j- — a) \ A(.r3 + a:v^ + d'x + a^) -+- \\x^ -H ax -\- a^) + C(j.- + a) -i- 1) I '.

Cette identité met en évidence le quotient et le reste de la division de X par x — a.

Le quotient peut s'écrire

A.r^^ -h (An + B)x2 H- (Aa2 + B« + C)x + Aa^ -i- Ba^ .+- Ca + D,

et le reste est

Aa^ 4- Ba-* -h Ca- + Da + E.

On retrouve ainsi, par une méthode bien simple, les résultats que nous avait déjà fournis l'application de la règle relative à la division des polynômes entiers.

41. — Cas oh les polynômes sont ordonnes suivant les puissances croissantes de x.

On peut répéter les raisonnements précédents, en supposant les deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes de X.

Soit, par exemple, à diviser

lOX'

I — ox .-+- lox"-

Nous disposerons ainsi les calculs :

par

I — DX -f- lOJ'

. — Sx -\- (jx- . Sx'-

lOX

bx'

I — 'Sx 4- 'Sx'"

Mais dans le cas actuel, s'il n'existe pas de polynôme entier en X qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende, on n'est pas arrêté dans l'application de la règle, comme cela a lieu lorsqu'on effectue la division de polynômes entiers ordonnés suivant les puissances décroissantes de la variable.

La remarque suivante permet de reconnaître si la division peut se faire exactement.

Eu divisant le dernier terme du dividende par le dernier terme du diviseur, on obtient un monôme qui doit être le dernier terme du quotient, s'il existe un polynôme entier en x qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende.

Si donc on est conduit, dans la suite des opérations, à écrire au quotient un terme de degré supérieur au degré de ce monôme, ou un terme de même degré, mais affecté d'un coefficient différent, la division ne peut se faire exactement.

42. — Etant donnés deux polynômes entiers en x, A et B, si B renferme un terme indépendant de x, on peut décomposer A en deux parties, dont l'une est un polynôme entier en x, contenant x"" en facteur, et l'autre, le produit de U par un polynôme entier en x de degré inférieur à n, et cette décomposition n'est possible que d'une seule manière.

Nous avons à montrer qu'on peut trouver des polynômes entiers en x, Q et R, le premier de degré inférieur à n, tels que l'on ait

A = BQ -H 3^»R

et que cela n'est possible que d'une seule manière.

Pour trouver ces polynômes, il suffît d'ordonner A et B par rapport aux puissances croissantes de x de diviser A par B et de s'arrêter quand on est arrivé à un reste contenant x» en facteur.

Pour démontrer que la décomposition précédente n'est possible que d'une seule manière, supposons qu'on ai't à la fois

A =r BQ 4- x"K A = BQ' + j:"R',

Q, Q', R, R' étant des polynômes entiers en x dont les deux premiers sont de degré inférieur à n.

De ces deux identités on déduit :

BQ -h j-«R = BQ' -H x"lV, puis

DIVISION ALGEBRIQUE

Cette dernière identité est absurde, si l'on a pas identiquement

Q =.= Q' et R' = R.

Dans le second membre, le terme de moindre degré a en effet un degré au moins égal à n, et, dans le premier, il y a certainement un terme de degré inférieur à n.

On arrive donc à un résultat absurde en suppost^nt qu'il est possible d'obtenir pour A deux décompositions distinctes de la forme précédente.