CHAPITRE lY

DIVISIBILITE

45. — Étant donnés deux polynômes entiers en x, A et B, on dit que A est divisible par B s'il existe un polynôme entier en X qui, multiplié par B, reproduise A.

Si B est un diviseur de A, le produit de B par un facteur numérique quelconque est aussi un diviseur de A.

Car si, entre les polynômes A, B, Q entiers en .t, on a l'identité

A = BQ,

m désignant un facteur numérique quelconque, on aura aussi

A r= (mB)

et il est évident que — est un polynôme entier en x. ^ m ^ "

46. — Si un polynôme divise l'un des facteurs d'un produit, il divise le produit.

En effet, supposons que l'on ait entre des polynômes A, B, Q, entiers en x l'identité

A :== BQ,

multiplions les deux membres par un polynôme C entier en x et remarquons que pour multiplier par C un produit de deux fecteurs, il suffit de multiplier par C l'un des facteurs du produit. Nous trouvons

AC = B ;qg).

Donc, si B divise A, B divise le produit AC.

47. — Si un polynôme divise les deux parties d'une somme, il divise la somme.

Car si l'on a entre des polynômes A, A^, B, Q, Q^ les iden^ lités

A =BQ, A, -BQ,,

en ajoutant les identités membre à membre, on obtient

Les diviseurs communs au dividende et au diviseur d'une division sont les mêmes que les diviseurs communs au diviseur et au reste de cette division.

Car si l'on a l'identité

A = BQ -f- R

entre des polynômes A, B, Q, R entiers en x, tout diviseur commun à A et à B divisant à la fois les deux polynômes A et BQ, divise leur différence R ; et tout diviseur commun à B et àR divisant à la fois les deux polynômes BQ et R divise leur somme A.

48. Remarque. — Si on multiplie par un facteur numérique le dividende dune division^ le reste se trouve multiplié par ce facteur.

A et B étant deux polynômes entiers en x, supposons qu'on ait effectué la division de A par 13 après avoir ordonné les deux polynômes par rapport aux puissances décroissantes de x et qu'on ait poussé l'opération jusqu'à un reste de degré inférieur au degré du diviseur. Soit Q le quotient et R le reste, on a

A = BQ + R.

Soit m un facteur numérique, multiplions par m les deux membres de l'égalité précédente, nous obtenons une nouvelle égalité que nous pourrons écrire

mA = B(mQ)-hmR.

Si maintenant on divise mX par B, qu'on pousse l'opération