DIVISIBILITÉ

jusqu'à un reste de degré inférieur au degré de B, on sera con-

duit à l'ésfalité

mA == BQ' 4- R',

Q' et R' étant des polynômes entiers en x et le degré de R' étant inférieur au degré de B. Gomme la décomposition, sous cette forme, du polynôme mk. n'est possible que d'une seule manière, les polynômes mQ et Q' d'une part, mR et R' d'autre part, sont identiques. En particulier

C'est en cela que consiste le théorème.

Le théorème s'étend au cas où c'est un des dividendes partiels qui a été multiplié par un facteur numérique m : le quotient est altéré, mais le reste est simplement multiplié par m. Cela résulte de ce que le reste de la première division est aussi le reste de la division de l'un quelconque des dividendes partiels par le diviseur.

49. — 81 on miiltipUe ou si on divise par un niêrae polynôme le dividende et le diviseur d'une division, le quotient ne change pas et le reste se trouve multiplié ou divisé par ce polynôme.

Supposons qu'on ait effectué la division de deux polynômes entiers en x ordonnés suivant les puissances décroissantes de x et qu'on ait poussé l'opération jusqu'à un reste de degré inférieur au degré du diviseur. Soient A, B, Q, R, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de cette division, on a, entre ces polynômes, l'identité

A = BQ 4- R.

Si nous multiplions les deux membres de cette identité par C, nous obtenons une nouvelle identité qui peut s'écrire :

(AC) = (13C) Q -+- (RG),

(AG), (BG), (RG) représentant les polynômes entiers en x obtenus en effectuant les produits de A, B, R par G, et comme le degré de R était inférieur au degré de B, le degré de (RG) est inférieur au degré de (BG).

Buior — Leçons d'Al-icbre 4

La nouvelle identité montre donc que si on divise (AC) par (BG), les polynômes étant ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de x, et si on pousse l'opération jusqu'à un reste de degré inférieur au degré du diviseur, on trouvera comme quotient Q et comme reste (RC), et c'est en cela que consiste le théorème.

Pour démontrer la seconde partie de l'énoncé, supposons que A et \\ admettent un diviseur commun G, R admettra aussi ce diviseur.

Nous pouvons diviser par G les deux membres de l'identité

A = BQ -t- R.

Gela donne une nouvelle identité qui peut s'écrire

A', B', R' désignant les quotients obtenus en divisant par G les polynômes A,B et R. La démonstration s'achève comme la précédente.